每日一题[1326]引入参数

已知正实数 $a,b$ 满足 $ab+\dfrac{4}{a(a+b)}=\dfrac 4{ab}$,则 $2a+b$ 的最小值为_______.

答案    $2\sqrt 2$.

解法一    根据题意,有\[ab=\dfrac{4(a+b)-4b}{a(a+b)b},\]即\[a(a+b)b^2=4,\]引入参数,有\[(\lambda a)\cdot (\mu a+\mu b)\cdot b\cdot b= 4\lambda\mu,\]根据均值不等式,有\[4\lambda\mu\leqslant \left(\dfrac{(\lambda+\mu )a+(\mu +2)b}4\right)^4,\]我们期望右侧 $a,b$ 的系数比为 $2:1$,且考虑到取等条件,有\[\begin{cases} \lambda+\mu =2(\mu +2),\\ \lambda a=\mu a+\mu b=b,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} \lambda = 2(\sqrt 2+1),\\ \mu =2(\sqrt 2-1),\\ \dfrac ab=\dfrac{\sqrt 2-1}2,\end{cases}\]因此有\[16\leqslant \left(\dfrac{2\sqrt 2(2a+b)}4\right)^4,\]即\[2a+b\geqslant 2\sqrt 2,\]等号当 $a=\sqrt 2-1$,$b=2$ 时取得,因此所求的最小值为 $2\sqrt 2$.

解法二    根据题意,有\[ab=\dfrac{4(a+b)-4b}{a(a+b)b},\]即\[a(a+b)b^2=4,\]而\[(2a+b)^2=4a(a+b)+b^2\geqslant 2\sqrt{4a(a+b)b^2}=8,\]等号当 $a=\sqrt 2-1$,$b=2$ 时取得,因此所求的最小值为 $2\sqrt 2$.

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