Math173

$\arctan\left((\sin^263^\circ-3\sin^227^\circ)(\sin^29^\circ-3\cos^2171^\circ)\right)=$ _______．

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将 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）对应的二进制数中 $0$ 的个数记为 $f(n)$，例如 $4=100_{(2)}$，于是 $f(4)=2$，则 $2^{f\left(2^{2018}\right)}+2^{f\left(2^{2018}+1\right)}+2^{f\left(2^{2018}+2\right)}+\cdots+2^{f\left(2^{2019}-1\right)}=$ _______．

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观察下列等式： \[\begin{split}\left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 1\times 2,\\ \left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{4{\mathrm \pi} }{5}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 2\times 3,\\ \left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{7}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{6{\mathrm \pi} }{7}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 3\times 4,\\ \left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{9}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{8{\mathrm \pi} }{9}\right)^{-2}&=\dfrac{4}{3}\times 4\times 5,\\ &\cdots\cdots\end{split}\] 照此规律， $\left(\sin\dfrac{\mathrm \pi} {2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2{\mathrm \pi} }{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3{\mathrm \pi} }{2n+1}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{2n{\mathrm \pi} }{2n+1}\right)^{-2}=$ _______．

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求证：$x\ln x+2<\dfrac{{\rm e}^x}{x}$．

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已知在 $\triangle ABC$ 中，$\tan\dfrac A2\tan \dfrac B2=\dfrac 13$，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 中角 $A,B,C$ 的对边．

1、求证：$a,b,c$ 经过排列后可以组成等差数列．

2、设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$\triangle ABC$ 的周长为 $12$，且 $c-a=1$，求 $m=\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$ 的值．

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求最小的正整数 $n$，使得当正整数 $k \geqslant n$ 时，在前 $k$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 中，对任何 $x\in M$，总存在另一数 $y\in M$（$y \ne x$），满足 $x+y$ 为平方数．

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在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，且满足 $(a+b)\sin\dfrac C2=12$，$(a-b)\cos\dfrac C2=5$，则 $c=$_______．

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已知数列 $\{a_n\}$ 是首项和公差相等的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{10}=55$．数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，$b_n=\dfrac{2^{n-1}a_{n-1}}{2S_n}$．若数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则 $T_{100}=$（       ）

A．$\dfrac{2^{101}}{101}$

B．$\dfrac{2^{100}}{100}$

C．$\dfrac{2^{100}}{101}$

D．$\dfrac{2^{101}}{100}$

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已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$，求证：\[1\leqslant \dfrac a{1+bc}+\dfrac b{1+ca}+\dfrac c{1+ab}\leqslant \sqrt 2.\]

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函数 $f(t,\alpha)=\dfrac{\left|\left(\cos\alpha+\sqrt 2\sin\alpha\right)t-\sqrt 2\right|}{\sqrt{t^2-2\sqrt 2t\cos\alpha+2}}$，其中 $t\in\mathbb R$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 的最大值是（       ）

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

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