每日一题[1392]半角定理

已知在 $\triangle ABC$ 中,$\tan\dfrac A2\tan \dfrac B2=\dfrac 13$,$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 中角 $A,B,C$ 的对边.

1、求证:$a,b,c$ 经过排列后可以组成等差数列.

2、设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心,$\triangle ABC$ 的周长为 $12$,且 $c-a=1$,求 $m=\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$ 的值.

解析

1、设 $2p=a+b+c$,则根据半角定理,有\[\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\cdot \sqrt{\dfrac{(p-c)(p-a)}{p(p-b)}}=\dfrac {p-c}{p},\]因此有\[\dfrac{p-c}p=\dfrac 13,\]即\[2p=3c,\]也即\[a+b=2c,\]因此 $a,c,b$ 构成等差数列,命题成立.

2、根据题意,有\[\begin{cases} a+b+c=12,\\ a+b=2c,\\ c-a=1,\end{cases}\]解得\[(a,b,c)=(3,5,4),\]于是 $\triangle ABC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形,进而 $O$ 为斜边 $AC$ 的中点,有\[OA=OB=OC=\dfrac 52,\]因此\[m=\left(\dfrac 52\right)^2\cdot \left(\cos\angle AOB+\cos\angle BOC+\cos\angle COA\right)=-\dfrac{25}{4}.\]

 

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