每日一题[1393]无需放缩

求证:$x\ln x+2<\dfrac{{\rm e}^x}{x}$.

证明    欲证不等式即\[\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac 2x>0,\]记左侧函数为 $f(x)$,则\[f'(x)=\dfrac{\left({\rm e}^x-x\right)(x-2)}{x^3},\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline x&(0,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline f(x)&\searrow&\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1&\nearrow \\ \hline \end{array}\]于是问题转化为证明\[\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1>0.\]又\[4+4\ln 2<4+4\cdot \dfrac 12\left(2-\dfrac 12\right)=7<{\rm e}^2,\]于是命题得证.

 

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