每日一题[1396]三倍角公式

$\arctan\left((\sin^263^\circ-3\sin^227^\circ)(\sin^29^\circ-3\cos^2171^\circ)\right)=$ _______.

答案   $-27^\circ$.

解析    设题中代数式为 $m$,则\[\begin{split} m&=\arctan\left((\sin 63^\circ+\sqrt 3\cos 63^\circ)(\sin 63^\circ-\sqrt 3\cos 63^\circ)(\sin 9^\circ+\sqrt 3\cos 9^\circ)(\sin 9^\circ-\sqrt 3\cos 9^\circ)\right)\\ &=\arctan \left(2\sin 123^\circ\cdot 2\sin 3^\circ\cdot 2\sin 69^\circ\cdot 2\sin (-51^\circ)\right)\\ &=-\arctan\dfrac{\left(4\sin 3^\circ\cdot \sin 57^\circ\cdot \sin 63^\circ\right)\cdot \left(4\sin 9^\circ\cdot \sin 51^\circ\cdot \sin 69^\circ\right)}{\sin 63^\circ\cdot \sin 9^\circ}\\ &=-\arctan\dfrac{\sin 9^\circ\cdot \sin 27^\circ}{\sin 63^\circ\cdot \sin 9^\circ}\\ &=-27^\circ .\end{split}\]

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