每日一题[1395]二项式

将 $n$($n\in\mathbb N^{\ast}$)对应的二进制数中 $0$ 的个数记为 $f(n)$,例如 $4=100_{(2)}$,于是 $f(4)=2$,则 $2^{f\left(2^{2018}\right)}+2^{f\left(2^{2018}+1\right)}+2^{f\left(2^{2018}+2\right)}+\cdots+2^{f\left(2^{2019}-1\right)}=$ _______.

答案    $3^{2018}$.

解析    记所求和式为 $m$,则\[m=\sum_{k=0}^{2018}\mathop{\rm C}\nolimits_{2018}^k\cdot 2^k,\]即二项式 $(1+2x)^{2018}$ 的展开式中所有项的系数和,因此\[m=(1+2x)^{2018}\Big|_{x=1}=3^{2018}.\]

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