设 $A$ 是一个含有 $n$ 个元素的集合，$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是 $A$ 的互不相同的 $n$ 个子集．证明：在 $A$ 中存在一个元素 $a$，使得 $A_{1}-\{a\},A_{2}-\{a\},\cdots,A_{n}-\{a\}$ 仍是互不相同的集合，其中 $A_{i}-\{a\}=\{x\in A_{i}\mid x\ne a\}$．
过原点且斜率为正值的直线交椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 于 $E,F$ 两点，设 $A(2,0),B(0,1)$．求四边形 $AEBF$ 面积的最大值．
集合 $A$ 是由 $\{1,2,3,\cdots,50\}$ 中的 $40$ 个元素组成的子集，$S$ 为集合 $A$ 中的所有元素之和，则 $S$ 的取值个数为_______．
已知$a,b,c$ 均为正实数，求证：$2\sqrt {bc+ca+ab}\leqslant \sqrt 3 \sqrt[3]{(b+c)(c+a)(a+b)}$．
已知正数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$．求证：对任意正整数 $n$，有 $x^n+y^n+z^n \geqslant \dfrac {1}{3^{n-1}}$．
在某次交友活动中，原计划每两个人都要握一次手，但有 $4$ 个人各握了两次手之后就离开了．这样，整个活动共握了 $60$ 次手，那么最开始参加活动的人数是_______．
设 $S$ 是至少含有两个元素的集合，在 $S$ 上定义了一个二元运算 $\ast$（即对任意的 $a,b\in S$，对于有序元素对 $(a,b)$，在 $S$ 中有唯一确定的元素 $a\ast b$ 与之对应），若对任意的 $a,b\in S$，有 $a*(b*a)=b$，则对任意的 $a,b\in S$，下列式子中无法推断其恒成立的是（ ）
A．$(a*b)*a=a$
B．$(a*(b*a))*(a*b)=a$
C．$b*(b*b)=b$
D．$(a*b)*(b*(a*b)))=b$
如图，边长为 $2$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点．
1、若 $\angle EDF=120^{\circ}$，求证：$AE+AF$ 为定值．
2、若 $\angle EDF=60^{\circ}$，此时 $AE+AF$ 是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出 $AE+AF$ 的取值范围．
已知正项数列 $\{a_n\}$，满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}}$，求证：$$\ln(n+1)<a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1}<\ln\left(\dfrac{2n}3+1\right)+\dfrac12.$$
