每日一题[1650]对称设参

如图,边长为 $2$ 的等边三角形 $ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 的中点,$E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点.

1、若 $\angle EDF=120^{\circ}$,求证:$AE+AF$ 为定值.

2、若 $\angle EDF=60^{\circ}$,此时 $AE+AF$ 是否为定值?若是,请给出证明;否则,求出 $AE+AF$ 的取值范围.

解析

1、设 $\angle EDB=\dfrac{\pi}6+x $,$ \angle FDC=\dfrac{\pi}6-x $,其中 $ x\in\left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right)$,则根据正弦定理,有\[\begin{split} AE+AF&=4-BE-CF\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6-x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)}\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6+x\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}6-x\right)}{\cos x}\\ &=3,\end{split}\]命题得证.

2、根据题意,设 $\angle EDB=\dfrac{\pi}3+x $,$ \angle FDC=\dfrac{\pi}3-x $,其中 $ x\in\left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right)$,则根据正弦定理,有\[\begin{split} AE+AF&=4-BE-CF\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\dfrac{2\pi}3+x\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}{\sin\left(\dfrac{2\pi}3-x\right)}\\ &=4-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}-\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)},\end{split}\]而其中 $\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}3+x\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}3-x\right)}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,2\right]$,因此所求的取值范围是 $\left[\dfrac 32,2\right]$.

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