每日一题[1651]左右互搏

设 $S$ 是至少含有两个元素的集合,在 $S$ 上定义了一个二元运算 $\ast$(即对任意的 $a,b\in S$,对于有序元素对 $(a,b)$,在 $S$ 中有唯一确定的元素 $a\ast b$ 与之对应),若对任意的 $a,b\in S$,有 $a*(b*a)=b$,则对任意的 $a,b\in S$,下列式子中无法推断其恒成立的是(       )

A.$(a*b)*a=a$

B.$(a*(b*a))*(a*b)=a$

C.$b*(b*b)=b$

D.$(a*b)*(b*(a*b)))=b$

答案    A.

解析    根据题意,题意是右乘一个数,再左乘一个相同的数,得到本身.进而有\[\forall a,b\in S,(b*a)*(a*(b*a))=(b*a)*b,\]于是\[\forall a,b\in S,a=(b*a)*b.\] 于是\[\begin{split} (a*(b*a))*(a*b)&=b*(a*b)=a,\\ b*(b*b)&=b,\\ (a*b)*(b*(a*b)))&=(a*b)*a=b,\end{split}\]接下来研究选项 A,我们已经知道 $(a*b)*a=b$,于是当 $a\ne b$ 时,必然有 $(a*b)*a\ne a$.

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