每日一题[1981]根与系数

设 $P(x)=x^2-3x-7$, $Q(x)$ 和 $R(x)$ 均为二次项系数为 $1$ 的二次多项式. $\rm David$ 发现 $P(x)+Q(x),Q(x)+R(x),R(x)+P(x)$ 中的任意两个多项式均有一个公共根, 且这三个公共根各不相同. 若 $Q(0)=2$, $R(0)$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$, 则 $m+n=$ _______.

答案    $71$.

解析    设 $P(x)+Q(x)$ 与 $R(x)+P(x)$ 的公共根为 $p$, $P(x)+Q(x)$ 与 $Q(x)+R(x)$ 的公共根为 $q$, $Q(x)+R(x)$ 与 $R(x)+P(x)$ 的公共根为 $r$, 则\[\begin{cases} P(x)+Q(x)=2(x-p)(x-q),\\ Q(x)+R(x)=2(x-q)(x-r),\\ R(x)+P(x)=2(x-r)(x-p),\end{cases},\]于是\[ P(x)+Q(x)+R(x)=(x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p),\]进而\[\begin{split} P(x)&=P(x)+Q(x)+R(x)-(Q(x)+R(x))\\ &=(x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p)-2(x-q)(x-r)\\ &=x^2-2px+(pq+rp-qr),\end{split}\]类似可得\[\begin{split} Q(x)&=x^2-2qx+(pq+qr-rp),\\ R(x)&=x^2-2rx+(qr+rp-pq),\end{split}\]根据题意, 有\[\begin{cases} -2p=-3,\\pq+rp-qr=-7,\\ pq+qr-rp=2,\end{cases}\iff \begin{cases} p=\dfrac 32,\\ q=-\dfrac 53,\\ r=-\dfrac{27}{19},\end{cases}\]于是 $R(0)=qr+rp-pq=\dfrac{52}{19}$, 于是 $m+n=52+19=71$.

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