甲口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球，乙口袋中装有 $3$ 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $p_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $q_n$．
1、求 $p_1,q_1$ 和 $p_2,q_2$．
2、求 $2p_n+q_n$ 与 $2p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_n$ 的数学期望 $E(X_n)$（用 $n$ 表示）．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} p_{n+1}=p_n\cdot \dfrac13 +q_n\cdot \dfrac 23\cdot \dfrac 13+(1-p_n-q_n)\cdot 0,\\ q_{n+1}=p_n\cdot \dfrac 23+q_n\cdot\left(\dfrac 13\cdot \dfrac13+ \dfrac 23\cdot \dfrac 23\right)+(1-p_n-q_n)\cdot \dfrac 23,\end{cases}\]即\[\begin{cases} p_{n+1}=\dfrac 13p_n+\dfrac 29q_n,\\ q_{n+1}=\dfrac 23-\dfrac19q_n,\end{cases}\]其中 $p_0=1$，$q_0=0$，于是 $p_1=\dfrac13$，$q_1=\dfrac 23$，$p_2=\dfrac 7{27}$，$q_2=\dfrac{16}{27}$．
2、根据题意，有\[2p_n+q_n=\dfrac 13\left(2p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\dfrac 23,\]也即\[2p_n+q_n-1=\dfrac 13(2p_{n-1}+q_{n-1}-1),\]因此\[2p_n+q_n-1=\left(\dfrac13\right)^{n-1},\]从而\[E(X_n)=2p_n+q_n=1+\left(\dfrac13\right)^n.\]