每日一题[2196]轮回归宿

已知 $A=\{1,2,3,4,5\}$,$f$ 是从 $A$ 到 $A$ 的映射,则对任意 $A$ 中的元素 $x$,都有 $f(f(x))=f(f(f(x)))$ 的不同映射 $f$ 的个数为_______.

答案    $756$.

解析    满足题意的 $f$ 的原象集 $\{1,2,3,4,5\}$ 可以分为三类:第一类是满足 $f(x)=x$ 的,设有 $i$ 个,组成集合 $A$;第二类是满足 $f(x)\in A$ 且 $x\notin A$ 的,组成集合 $B$;第三类是满足 $f(x)\in B$ 且 $x\notin A\cup B$ 的,组成集合 $C$;如对映射\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&1&2&3&4&5\\ \hline f(x)&1&2&1&2&3\\ \hline\end{array}\]对应的 $A=\{1,2\}$,$B=\{3,4\}$,$C=\{5\}$.设 $|A|=i$,$|B|=j$,则所求映射个数为\[ \sum_{i+j \leqslant 5}\dbinom 5i\dbinom{5-i}j i^{j} j^{5-i-j}. \]列表可得\[\begin{array}{c|ccccc}\hline \dfrac j i &1&2&3&4&5\\ \hline 0&&&&&1\\ \hline 1&20&60&60&20&\\ \hline 2&120&240&90&&\\ \hline 3&60&80&&&\\ \hline 4&5&&&&\\ \hline 5&&&&&\\ \hline \end{array}\]因此所求映射个数为 $756$.

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