设 $\alpha\in [0,2\pi)$，存在整数 $a,b$，使得 $\cos\alpha,\sin\alpha$ 为一元二次方程 $x^2+ax+2b^2=0$ 的两个实根，则满足题意的 $\alpha$ 的个数为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．$4$
D．前三个选项都不对
答案 C．
解析 根据韦达定理，有\[\begin{cases} \cos\alpha+\sin\alpha=-a,\\ \cos\alpha\sin\alpha=2b^2,\end{cases}\]由于 $\cos\alpha+\sin\alpha\in\left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$ 且 $\cos\alpha\sin\alpha\in \left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right] $，且 $ a,b $ 均为整数，因此 $ a\in\{-1,0,1\} $，$ b=0 $，经验证只有 $(a,b)=(\pm 1,0)$ 符合题意．此时\[(\cos\alpha,\sin\alpha)=(0,\pm 1),(\pm 1,0)\iff \alpha=\dfrac{k\pi}2,k=0,1,2,3,\]因此满足题意的 $ \alpha $ 有 $ 4$ 个．