每日一题[2209]韦达定理

已知函数 $f(x)=x^3+(a+2)x^2+bx+c$($a,b,c\in\mathbb R$),若存在异于 $a$ 的实数 $m,n$($m\ne n$),使得 $f(m)=f(n)=f(a)$,则 $b$ 的所有可能取值构成的集合为_______.

答案    $\left(-\infty,1\right)$.

解析    设 $f(m)=f(n)=f(a)=d$,则 $x=m,n,a$ 是方程 $f(x)-d=0$ 也即\[x^3+(a+2)x^2+bx+c-d=0\]的三个不同实根.根据三次方程的韦达定理,有\[\begin{cases} m+n+a=-(a+2),\\ mn+na+am=b,\end{cases}\iff\begin{cases} m+n=-2a-2,\\ mn=b+2a^2+2a,\end{cases}\]其中 $m,n$ 为不相等的实数,于是\[(-2a-2)^2>4(b+2a^2+2a)\iff b<-a^2+1.\]又 $m,n$ 均不与 $a$ 相同,于是 $a$ 不为函数 $f(x)$ 的极值点,即\[3a^2+2a(a+2)+b\ne 0\iff b\ne -5a^2-4a,\]因此 $b$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-a^2+1\right)\setminus\left\{-5a^2-4a\right\}$.当 $a$ 取遍所有的实数时,可得 $b$ 的所有可能取值构成的集合为 $(-\infty,1)$.

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