每日一题[2208]六道轮回

已知 $\theta>0$,若存在实数 $\varphi$,使得对于任意正整数 $n$,都有 $\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,则 $\theta$ 的最小值是_______.

答案    $\dfrac{2\pi}5$.

解析    

考虑角 $x=n\theta+\varphi$($n\in\mathbb N^{\ast}$)的终边位置构成的集合.

情形一     $2\pi$ 是 $\theta$ 的正整数倍,设 $2\pi=k\theta$($k\in\mathbb N^{\ast}$),则角 $x$ 的终边位置为 $\varphi+m\cdot \theta$,其中 $m=0,\cdots,k-1$,这些位置将单位圆 $k$ 等分.考虑到 $\cos x<\dfrac{\sqrt 3}2$ 等价于 $x$ 的终边落不在区间 $\left[-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right]$,区间长度为 $\dfrac{\pi}3$,因此 $k\leqslant 5$,且当 $\varphi$ 的终边位于区间 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{7\pi}{30}\right)$ 时符合题意.此时 $\theta$ 的最小值为 $\dfrac{2\pi}5$.

情形二     $2\pi$ 不是 $\theta$ 的正整数倍.为了求 $\theta$ 的最小值,只考虑 $\theta\in \left(0,\dfrac{2\pi}5\right)$ 的情形.设 $2\pi=m\cdot \theta+r$,其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $|r|<\dfrac{\pi}5$.取 $n=m\cdot t$,其中 $t\in\mathbb N^{\ast}$,则\[n\theta+\varphi=t(2\pi-r)+\varphi=2t\pi+\varphi-tr,\]由于 $|r|<\dfrac{\pi}5$,因此必然存在 $t\in\mathbb N^{\ast}$,使得 $\varphi-tr$ 的终边落在任意一个长度大于 $\dfrac{\pi}5$ 的的区间上,例如 $\left[-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}6\right]$,此时不符合题意.

综上所述,$\theta$ 的最小值为 $\dfrac{2\pi}5$.

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