已知 $a,b\in (0,180)$ 且 $a,b\in\mathbb N^{\ast}$，则关于 $a,b$ 的方程\[\dfrac{\sin (a+b)^\circ}{\sin a^\circ}=\dfrac{\sin (a+2b)^\circ}{\sin b^\circ}\]的正整数解 $(a,b)$ 的个数是_______．
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题拍拍征解题[44]（已解决）
『28933303』对于一个正整数 $m$，设 $S(m)$ 为其十进制表示下所有数码之和．求证：对任何正整数 $k$，都存在 $n$ 满足 $k\mid n$，且 $S(n)=S(n^2)$．
题拍拍征解题[43]
『28929865』正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$\left\{a_{a_n}\right\}$（$n=1,2,\cdots$）构成公差为 $d$ 的等差数列（$d\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、若 $\{a_n\}$ 为等差数列，求 $d-a_3$ 的最小值．
2、若 $n\geqslant d$，求证：$a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant \left(\dfrac 32-\dfrac 8d\right)n^2$．
每日一题[2390]模周期性
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则方程 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x5\right]=x$ 的解的个数为（ ）
A．$15$
B．$30$
C．$60$
D．无穷多个
题拍拍征解题[42]（已解决）
『28920987』设 $S(m)$ 是十进制下 $m$ 的各位数码之和，且 $S_{n+1}(n)=S\left(S_n(m)\right)$，$n\in\mathbb N$，其中记 $S_0(m)=m$．若 $S_k(m)$（$k=0,1,2,\cdots$）均为奇数，则称 $m$ 为奇和数；若 $S_k(m)$（$k=0,1,2,\cdots$）均为偶数，则称 $m$ 为偶和数．求证：在不超过 $2017$ 的正整数中，奇和数比偶和数多．
题拍拍征解题[41]
『28934067』设 $a,b,c$ 是正实数，求证：$\dfrac{bc}{a^2+bc}+\dfrac{ca}{b^2+ca}+\dfrac{ab}{c^2+ab}\leqslant \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}$．
每日一题[2389]两重量词
已知 $a>0$，函数 $f(x)=ax-x{\rm e}^x$．
1、求曲线 $f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程．
2、证明：$f(x)$ 存在唯一的极值点．
3、若存在 $a$，使得 $f(x)\leqslant a+b$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．
题拍拍征解题[40]（已解决）
『28914243』已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证：$\dfrac a{a^2+bc+a}+\dfrac{b}{b^2+ca+1}+\dfrac{c}{c^2+ab+1}\leqslant 1$．
题拍拍征解题[39]（已解决）
『28914143』已知 $p$ 和 $q$ 是两个不同素数，$\varphi(x)$ 表示不超过 $x$ 且与 $x$ 互素的正整数的个数．
1、求证：$\varphi(pq)=pq\left(1-\dfrac 1p\right)\left(1-\dfrac 1q\right)$．
2、$n$ 为 $m$ 个不同素数的乘积，且 $S=\displaystyle\sum_{\substack{xy\mid n,\\ x,y\in\mathbb N^{\ast}}}\varphi(x)\cdot y$，求 $\dfrac{S}n$．
题拍拍征解题[38]
『28907585』设集合 $S\subseteq \mathbb N^{\ast}$．若存在函数 $f:S\to\mathbb N^{\ast}$，满足对任意 $a,b,c\in S$，$a,b,c$ 成等比数列当且仅当 $f(a),f(b),f(c)$ 成等差数列，则称 $S$ 为好集合．
1、证明：$\mathbb N^{\ast}$ 不是好集合．
2、集合 $T=\{x\in\mathbb N^{\ast}\mid \text{ 对任意质数 }p,p^{2021}\nmid x\}$ 是否为好集合？