设 $n\geqslant 2$，$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+$ 且满足对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，有 $x_ix_j\geqslant i$，求 $x_1x_2\cdots x_n$ 的最小值．
『5789577』设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是单调递增的数列．
1、求证：\[\left(\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|x_i-x_j|\right)^2\leqslant \dfrac{2(n^2-1)}3\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^2.\]
2、求证：\[\left(\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|x_i-x_j|\right)^4\leqslant \dfrac{8(n-1)^3(n+1)(2n^2-3)}{15}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^4.\]
已知函数 $f(x)=x^4-6x^3+rx^2-6x+1$ 在 $(0,3]$ 上有且仅有三个零点，则实数 $r$ 的取值范围是_______．
数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+a$（$a\in\mathbb R$），则 $|a_n|\leqslant 2$，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$[-2,2]$
B．$[-2,0]$
C．$\left[0,\dfrac 14\right]$
D．$\left[-2,\dfrac 14\right]$
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$0<b<2$），$F_1,F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆上一点，$M(2,1)$，$MF_1$ 平分角 $\angle PF_1F_2$，则 $\triangle MPF_1$ 与 $\triangle MPF_2$ 的面积之和为（ ）
A．$1$
B．$\dfrac 32$
C．$2$
D．$3$
已知复数 $z$ 满足 $z^{111}=1$，$z^1+z^{10}-z^{11}=z^{-1}+z^{-10}-z^{-11}$，则满足条件的 $z$ 有_______个．
若一个 $2020$ 位数可以写成两个 $1010$ 位数的积，则称为 $A$ 型，否则称为 $B$ 型，则 $A$ 型数和 $B$ 型数中个数较多的是_______型数．
过抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $P$ 作切线 $l$，过 $O$ 点作 $l$ 的垂线交 $PF$ 于 $Q$，$|OQ|=\dfrac 35$，则 $\triangle OFQ$ 的面积是_______．
若存在正整数 $n$，使得 $3^m\mid \left(1!+2!+\cdots+n!\right)$，则正整数 $m$ 的最大值是_______．
设 $a$ 为正实数，函数 $f(x)=a {\rm e}^{a x}-\sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_{1}<x_{2}$），且存在极值点 $x_{0}$．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、求 $a$ 的取值范围，并证明：$2 x_{1}+3 x_{0}>3$．
