一个综艺节目中，$3 $ 名主持人与 $33 $ 位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过 $13$ 的概率是_____．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$，$ M(-2,0)$，$ N(2,0)$．过点 $P\left(x_0, y_0\right)$（$P$ 在椭圆 $C$ 第一象限内）的直线 $P M$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $A$，直线 $P N$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $B$．设 $S_1$ 为 $\triangle P M B$ 的面积，$S_2$ 为 $\triangle P A N$ 的面积，则 $S_1-S_2$ 的最大值为_____．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 和定点 $P(4,0)$，斜率为 $1$ 的直线交椭圆于 $A,B$，直线 $PA,PB$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，求证：$CD$ 过定点．
布朗运动是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在 $1$ 号仓，则试验结束时该粒子是从 $1$ 号仓到达容器外的概率为_____．
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x}$，$ g(x)=a x+b$．
1、若函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；
2、若直线 $g(x)=a x+b$ 是函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x}$ 图象的切线，求 $a+b$ 的最小值；
3、当 $b=0$ 时，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个交点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$，求证：$x_1 x_2>2 \mathrm{e}^2$．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左顶点 $A$，直线 $y=k x$（$k>0$）与 $C$ 的右支交于一点 $M$，点 $M$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $N$．若 $\tan \angle M A N=\dfrac{4}{k}$，则 $C$ 的率心率为_____．
