设 $B$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|PB|\leqslant 2b$，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）
A．$\left[\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$
B．$\left[\dfrac 12,1\right)$
C．$\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$
D．$\left(0,\dfrac 12\right]$
答案 C．
解析 根据题意，有 $B(0,b)$，设 $P(x_0,y_0)$，则\[|PB|\leqslant 2b\iff x_0^2+(y_0-b)^2\leqslant 4b^2,\]也即\[a^2\left(1-\dfrac{y_0^2}{b^2}\right)+(y_0-b)^2\leqslant 4b,\]不妨设 $b=1$，则有\[\forall y_0\in [-1,1],(a^2-1)y_0^2+2y_0-a^2+3\geqslant 0,\]也即\[\forall y_0\in [-1,1],(y_0+1)\left((a^2-1)y_0-a^2+3\right)\geqslant 0,\]也即\[\forall y_0\in (-1,1],(a^2-1)y_0-a^2+3\geqslant 0,\]从而可得\[(a^2-1)(-1)-a^2+3\geqslant 0\iff a\in \left(1,\sqrt 2\right],\]因此离心率的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$．