已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为平行四边形，面 $PAC\perp PBD$，若 $\triangle PBC$ 的面积为 $5$，$\triangle PCD$ 的面积为 $6$，$\triangle PDA$ 的面积为 $7$，则 $\triangle PAB$ 的面积为_______．
$\sqrt{38}$，2021年8月2日，by xixiggg．
设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，以 $O$ 为坐标原点，$PAC$ 为 $xOz$ 平面，$PBD$ 为 $yOz$ 平面，且 $P(0,0,p)$，$A(a,0,u)$，$C(-a,0,-u)$，$B(0,b,v)$，$D(0,-b,-v)$，则\[\begin{split} [\triangle PAB]&=\dfrac 12\left|\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow {PB}\right|\\ &=\dfrac12\left|(a,0,u-p)\times (0,b,v-p)\right|\\ &=\dfrac 12\sqrt{(bp-bu)^2+(ap-av)^2+(ab)^2}\\ &=\dfrac 12\sqrt{a^2b^2+p^2a^2+p^2b^2+a^2v^2+b^2u^2-2pa^2v-2p b^2u},\end{split}\] 因此 $a\to -a$，$u\to -u$，则可得\[[\triangle PBC]=\dfrac 12\sqrt{a^2b^2+p^2a^2+p^2b^2+a^2v^2+b^2u^2-2pa^2v+2p b^2u},\] 进而 $b\to -b$，$v\to -v$，则可得\[[\triangle PCD]=\dfrac 12\sqrt{a^2b^2+p^2a^2+p^2b^2+a^2v^2+b^2u^2+2pa^2v+2p b^2u},\] 进而 $a\to -a$，$u\to -u$，则可得\[[\triangle PDA]=\dfrac 12\sqrt{a^2b^2+p^2a^2+p^2b^2+a^2v^2+b^2u^2+2pa^2v-2p b^2u},\]因此\[[\triangle PAB]^2+[\triangle PCD]^2=[\triangle PBC]^2+[\triangle PDA]^2,\]进而\[[\triangle PAB]=\sqrt{[\triangle PBC]^2+[\triangle PDA]^2-[\triangle PCD]^2}=\sqrt{38}.\]