已知 $f(z)=z^2-19z$，复数 $z,f(z),f(f(z))$ 在复平面上对应的点为直角三角形的三个顶点，且 $f(z)$ 对应的点为直角顶点，$z$ 的最简形式为 $m+\sqrt n+11{\rm i}$（$m,n$ 均为正整数），则 $m+n=$_______．
三角形 $ABC$ 的边长均为整数，且 $AB=AC$．圆 $\omega$ 的圆心为 $\triangle ABC$ 的内心，$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 内切，边 $AC,BA$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 外切，则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______．
已知 $z_1,z_2,\cdots,z_{673}$ 是不同的复数，多项式\[(x-z_1)^3(x-z_2)^3\cdots(x-z_{673})^3=x^{2019}+20x^{2018}+19x^{2017}+g(x),\]其中 $g(x)$ 是不超过 $2016$ 次的复系数多项式．设 $\left|\displaystyle\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant 673} z_{j} z_{k}\right|$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
定义 $\tau(n)$ 为 $n$ 的正约数的数量，则关于 $n$ 的方程\[\tau(n)+\tau(n+1)=7\]的最小的 $6$ 个正整数解的和为_______．
已知实数 $x$ 满足 $\sin ^{10} x+\cos ^{10} x=\dfrac{11}{36}$，且 $\sin ^{12} x+\cos ^{12} x$ 的最简分数表示为 $\dfrac{m}{n}$，则 $m+n=$_______．
一个粒子从点 $(4,4)$ 出发运动，直到它首次碰到坐标轴时停止．当粒子位于点 $(a,b)$ 时，会等可能的运动到 $(a-1, b)$，$(a, b-1)$，$(a-1, b-1)$ 中的某个位置．粒子每次的运动都独立．设粒子到达坐标原点 $O$ 的概率的最简形式为 $\dfrac{m}{3^n}$，则 $m+n=$ _______．
足球队有 $22$ 名队员，其中 $11$ 名球员进行比赛，而剩余的 $11$ 名作为替补上场．在比赛过程中，教练可以进行至多 $3$ 次的换人（比赛中的任何一名球员都可以由一名替补队员代替）．任何被换下场的队员都不能重新进入比赛，尽管进入比赛的替代队员稍后也可能会被换下场．此外不允许同时进行 $2$ 次换人．那么教练可以安排的所有可能的替补方案（包括队员以及替补顺序）的后三位数是_______．
已知 $\triangle ABC$ 满足 $AB=1$，$AC=2$，$\cos A=\dfrac 7{25}$．若 $E$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，满足 $\lambda\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$（$\lambda\in\mathbb R$），且 $\overrightarrow {EB}\cdot \overrightarrow{EC}=0$，延长 $AE$ 至 $BC$ 交于点 $D$，则 $\dfrac{AD}{\lambda}=$ _______．
已知对任意实数 $x$ 都有 $f'(x)=3{\rm e}^x+f(x)$，$f(0)=-1$，若不等式 $f(x)<a(x-2)$（其中 $a<1$）的解集中恰有两个整数，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},\dfrac 12\right)$
B．$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},1\right)$
C．$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac{4}{3{\rm e}}\right)$
D．$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac 12\right)$
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}x$，$h(x)=af(x)+2f(-x)+(2a-4){\rm e}x$（$a\in\mathbb R$ 且 $a\ne0$）．
1、讨论函数 $y=f(ax)$ 的单调性．
2、当 $x\geqslant0$ 时，$h(x)\geqslant(a+2)\cos x+({\rm e}-1)(a-2)x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
