每日一题[2159]切圆好友

三角形 $ABC$ 的边长均为整数,且 $AB=AC$.圆 $\omega$ 的圆心为 $\triangle ABC$ 的内心,$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 内切,边 $AC,BA$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 外切,则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______.

答案    $20$.

解析    先不考虑边长为整数的条件,设 $BC=1$,$AB=AC=x$,则\[[ABC]=\dfrac 12\sqrt{x^2-\dfrac14},\]设 $A,B$ 点对应的旁切圆圆心分别为 $I_A,I_B$,半径分别为 $r_A,r_B$.记 $BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,内切圆半径为 $r$,则\[[ABC]=r\cdot \dfrac{a+b+c}2=r_A\cdot \dfrac{b+c-a}2,\]从而\[r=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{x-\dfrac 12}{x+\dfrac 12}},\quad r_A=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{x+\dfrac 12}{x-\dfrac 12}},\quad r_B=\sqrt{x^2-\dfrac14}.\]

设 $M$ 为 $BC$ 的中点,$D$ 为圆 $I_B$ 与 $BC$ 的切点,$X$ 为 $I$ 在 $I_BD$ 上的投影,则圆 $\omega$ 的半径为 $r+2r_A$,$BD$ 为 $\triangle ABC$ 的半周长 $x+\dfrac 12$,于是\[IX=MD=BD-BM=x,\]根据勾股定理,在直角 $\triangle IXI_B$ 中,有\[x^2+(r_B-r)^2=(r+2r_A+r_B)^2\iff x^2=4rr_A+4rr_B+4r_Ar_B+4r_A^2,\]将 $r,r_A,r_B$ 都用 $x$ 表示,有\[x^2=1+(2x-1)+(2x+1)+\dfrac{x+\dfrac 12}{x-\dfrac 12}\iff x=\dfrac 92,\]因此符合题意的 $(a,b,c)=(2,9,9)$,周长为 $20$.

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