解实数方程：\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，圆 $O_1$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，圆 $O$ 是四边形 $ABC_1D_1$ 的外接圆．设 $P,Q$ 分别为圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 上的动点，则线段 $PQ$ 的最小值为_______．
古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$，直角边 $AB,AC$．若以 $AB,AC$ 为直径的两个半圆的弧长总长度为 $2\pi$，则以斜边 $BC$ 为直径的半圆面积的最小值为_______．
已知实数 $a,b$ 满足 $\sqrt{1-\dfrac{a^2}2}+\sqrt{1-\dfrac{b^2}3}=\dfrac 32$，则 $ab$ 的最大值为_______．
已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=60^\circ$，$AC=4$，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AC,AB$ 相切，设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$，且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______．
求所有的函数 $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$，使得对于任意实数 $x,y$，均有\[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]
求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，使得对于任意实数 $x,y$ 有\[ f(2f(x) +f(y)) =2x +f(y).\]
求所有的函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对所有的 $x, y \in \mathbb{R}$ 均有\[(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y) f(x+y).\]
我们可以利用数列 $\left\{a_n\right\} $ 的递推公式 $a_n=\begin{cases}n,&n~\text{为奇数时},\\a_{\frac n2},&n~\text{为偶数时},\end{cases}\left( n\in \mathbb N^{\ast} \right)$ 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则 $a_{24}+a_{25}$ =[[nn]]；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 $8$ 个 $5$ 是该数列的第[[nn]]项．
设 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\leqslant \dfrac a{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}.\]
