满足 $1 \leqslant x \leqslant y \leqslant z \leqslant 20$ 且 $x+y+z$ 为 $20$ 的倍数的正整数组 $(x, y, z)$ 的个数为（ ）
A．$400$
B．$190$
C．$77$
D．前三个答案都不对
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每日一题[2708]代数变形
对于 $n \geqslant 1$，令 $a_{n}=\sqrt{100+\sqrt{n}}$，$b_{n}=\sqrt{100-\sqrt{n}}$，设数列 $\left\{a_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}_{n \geqslant 1}$ 的 前 $ 9999 $ 项之和分别为 $A$ 和 $B$，则 $\dfrac{A}{B}$ 的值为（ ）
A．$2 \sqrt{2}$
B．$\sqrt{10}-1$
C．$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
D．前三个答案都不对
每日一题[2707]团团圆圆
平面上凸四边形 $A B C D$ 满足 $A B=1$，$B C=2$，$C D=3$，$D A=4$，则该四边形 $A B C D$ 面积的最大值为（ ）
A．$4 \sqrt{2}$
B．$3 \sqrt{3}$
C．$2 \sqrt{6}$
D．前三个答案都不对
每日一题[2706]迭代升级
设 $f(x)=x^{2}+2 x+2$，定义 $f^{(1)}(x)=f(x)$，对 $n \geqslant 1$，定义 $f^{(n+1)}(x)=f\left(f^{(n)}(x)\right)$，则方程 $f^{(2021)}(x)=0$ 所有复根的算术平均值为（ ）
A．$-1$
B．$-2$
C．$-2022$
D．前三个答案都不对
每日一题[2705]差量与配方
设正整数 $a, b, c$ 满足 $a \geqslant b \geqslant c$ 和 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a=25$，则 $a+b+c$ 的最小值是（ ）
A．$7$
B．$8$
C．$9$
D．前三个答案都不对
每日一题[2704]构造方程
已知二次函数的图像过点 $(1,1),\left(2, \dfrac{1}{2}\right),\left(3, \dfrac{1}{3}\right)$ 和 $(4, m)$，则 $m$ 的值为（ ）
A．$\dfrac{1}{4}$
B．$-\dfrac{1}{4}$
C．$\dfrac{1}{2}$
D．前三个答案都不对
每日一题[2703]高次复方程
设 $n$ 是大于 $1$ 的整数．已知模长为 $1$ 的复数 $z$ 满足 $z^{n}+z+1=0$，则如下断言正确的有（ ）
A．$|z+1|=1$
B．$z$ 的实数部分为 $-\dfrac{1}{2}$
C．$n-2$ 是 $3$ 的倍数
D．满足条件的 $z$ 是唯一的
每日一题[2702]复数方程
设 $a, b$ 是非零复数，$z_{1}, z_{2}$ 是方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两个复根．若 $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$，则（ ）
A．存在正实数 $\lambda$ 使得 $z_{2}=\lambda z_{1}$
B．$b$ 是正实数
C．存在实数 $\mu \geqslant 4$，使得 $a^{2}=\mu b$
D．存在正实数 $v$，使得 $a=v z_{1}$
每日一题[2701]两边夹
设 $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是无穷实数序列，则如下断言正确的有（ ）
A．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$
B．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不一定存在
C．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$
D．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不一定存在
每日一题[2700]直击要害
已知函数 $f(x)=x \ln x-{\rm e}^{x}-m x$（$m \in \mathbb{R}$）．
1、若 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x-{\rm e} y=0$ 垂直，求 $\varphi(x)=f(x)+{\rm e}^{x}$ 的极值．
2、若 $F(x)=f(x)+x^{2}$ 在 $[1,2]$ 上单调递减，求证：$m>0$．