如图所示，设 $k>0$ 且 $k\ne 1$，直线 $l:y=kx+1$ 与 $l_1:y=k_1x+1$ 关于直线 $y=x+1$ 对称，直线 $l$ 与 $l_1$ 分别交椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 于点 $A,M$ 和 $A,N$．
1、求 $k\cdot k_1$ 的值．
2、求证：对任意的实数 $k$，直线 $MN$ 恒过定点．
设 $X$ 是有限集，$t$ 为正整数，$F$ 是包含 $t$ 个子集的子集族：$F=\{A_1,A_2,\cdots,A_t\}$．如果 $F$ 中的部分子集构成的集族 $S$ 满足：对 $S$ 中任意两个不相等的集合 $A,B$，$A\subsetneqq B$ 和 $B\subsetneqq A$ 均不成立，则称 $S$ 为反链．设 $S_1$ 为包含集合最多的反链，$S_2$ 是任意反链．证明：存在 $S_2$ 到 $S_1$ 的单射 $f$，满足对任意 $A\in S_2$，$f(A)\subsetneqq A$ 或 $A\subsetneqq f(A)$ 成立．
设 $a_i,b_i>0$（$1\leqslant i\leqslant n+1$），$b_{i+1}-b_i\geqslant \delta >0$（$i=1,2,\cdots,n$，$\delta$ 为常数）．若 $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i=1$，证明：\[\sum_{i=1}^n\dfrac{\sqrt[i]{a_1a_2\cdots a_ib_1b_2\cdots b_i}}{b_{i+1}b_i}<\dfrac1{\delta}.\]
如图，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，抛物线 $C_2:x^2=2py$（$p>0$），设 $C_1,C_2$ 相交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点．
1、若 $\triangle ABO$ 的外心在椭圆上，求实数 $p$ 的值．
2、若 $\triangle ABO$ 的外接圆经过点 $N\left(0,\dfrac{13}2\right)$，求实数 $p$ 的值．
设 $0\leqslant x_1\leqslant x_2$，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．若 $1\leqslant x_7\leqslant 2$，则 $x_8$ 的取值范围是_______．
设 $f(x)=\dfrac{1010x+1009}{1009x+1010}$，定义 $f^{(1)}(x)=f(x)$，$f^{(i)}(x)=f\left(f^{(i-1)}(x)\right)$，$i=2,3,\cdots$，则 $f^{(n)}(x)=$ _______．
答案 $\dfrac{(2019^n+1)x+2019^n-1}{(2019^n-1)x+2019^n+1}$．
解析 不动点方程 $f(f(x))=x$ 即\[1009x^2-1009=0,\]解得 $x=\pm 1$，从而所求迭代函数\[\dfrac{f^{(n)}(x)+1}{f^{(n)}(x)-1}=2019^n\cdot \dfrac{x+1}{x-1},\]解得\[f^{(n)}(x)=\dfrac{(2019^n+1)x+2019^n-1}{(2019^n-1)x+2019^n+1}.\]
已知 $f(x)=\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}$（$a, b \in \mathbb{R}$）．
1、若 $a=b=1$，解不等式 $f(x)>1$．
2、定义区间 $(m, n),[m, n),(m, n],[m, n]$ 的长度为 $n-m$，若 $a<b$，求 $f(x)>1$ 解集的区间长度或解集的区间长度之和（解集为几个区间的并集时）．
$\sin ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 40^{\circ}+\sin 10^{\circ} \cos 40^{\circ}=$ ________.
已知 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x-1}}{x}-a x+a \ln x$，其中 $a \in \mathbb{R}$．
1、当 $a=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．
