已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，当 $x<0$ 时，$f(x)>1$，且对任意的实数 $x , y \in \mathbb{R}$，等式 $f(x) f(y)=f(x+y)$ 成立，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $f\left(a_{n+1}\right) f\left(\dfrac{1}{1+a_n}\right)=1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），且 $a_1=f(0)$，则下列结论成立的是（ ）
A．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2016}\right)$
B．$f\left(a_{2014}\right)>f\left(a_{2017}\right)$
C．$f\left(a_{2016}\right)<f\left(a_{2015}\right)$
D．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2015}\right)$
如图所示，已知 $A_0(0,0) $，$A_1(4,0)$，对任何 $n \in \mathbb{N}$，点 $A_{n+2}$ 按照如下方式生成：$\angle A_n A_{n+1} A_{n+2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\left|\overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}\right|=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}\right|$，且 $A_n , A_{n+1}, A_{n+2}$ 按逆时针排列，记点 $A_n$ 的 坐标为 $\left(a_n, b_n\right)$（$n \in \mathbb{N}$），则 $\left(\lim\limits _{n \rightarrow \infty} a_n, \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b_n\right)$ 为（ ）
A．$\left(\dfrac{20}{7}, \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)$
B．$\left(3, \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)$
C．$\left(3, \dfrac{5 \sqrt{3}}{8}\right)$
D．$\left(\dfrac{20}{7}, \dfrac{5 \sqrt{3}}{8}\right)$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt{n}} a_{n+1}^2$，则下列正确的是（ ）
A．$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
B．数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是递减数列
C．数列 $\left\{a_{n+1}+a_n\right\}$ 是递增数列
D．$a_{n+1}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(x+1)^2$，令 $f_1(x)=f^{\prime}(x) $，$f_{n+1}(x)=f_n^{\prime}(x)$，若 $f_n(x)=\mathrm{e}^x\left(a_n x^2+b_n x+c_n\right)$，记数列 $\left\{\dfrac{2 a_n}{2 c_n-b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则下列选项中与 $S_{2019}$ 的值最接近的是（ ）
A．$\dfrac{3}{2}$
B．$\dfrac{5}{3}$
C．$\dfrac{7}{4}$
D．$\dfrac{9}{5}$
对于数列 $\left\{a_n\right\}$，有 $a_1=a$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{a_n^2-2 a_n+2}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），以下结论中正确的是（ ）
A．若 $a<1$，则 $a_n<1$
B．对 $a \in \mathbb{R}$，均有 $0 \leqslant a_{n+1}<2$
C．若 $0<a<1$，则 $a_{n+1}<a_n$
D．对任意正整数 $n$，均有 $(a-1)\left(a_n-1\right) \geqslant 0$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_{n+1}=2+\sqrt{4 a_n-a_n^2}$，则 $a_1+a_{2018}$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$4$
C．$4-2 \sqrt{2}$
D．$4+2 \sqrt{2}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$ a_{n+1} a_n=a_n^2+2 a_n+1$，则使得 $\left|\sqrt{a_{2020}}-m\right|$ 最小的整数 $m$ 是（ ）
A．$65$
B．$64$
C．$63$
D．$62$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1$，若 $a_{n+1}=\dfrac{(n+1) a_n}{n+1+a_n}$，则下列结论中正确的是（ ）
A．$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{1}{2}$
B．$\dfrac{1}{a_{n+2}}-\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{2}{\sqrt{(n+2)(n+1)}}$
C．$\dfrac{1}{a_{2 n}}-\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{1}{2}$
D．$a_n \cdot \ln (n+1)>1$
已知 $a , b$ 是不相等的两个正数，在 $a , b$ 之间插入两组实数：$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_n $，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，且 $n \geqslant 2$，使得 $a, x_1, x_2, \cdots, x_n, b$ 成等差数列，$a, y_1, y_2, \cdots, y_n, b$ 成等比数列，下列命题正确的有（ ）
A．$x_1+x_2+\cdots x_n=\dfrac{n(a+b)}{2}$
B．$\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots x_n\right)>\sqrt{a b}+\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}\right)^2$
C．$\sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n}=\sqrt{a b}$
D．$\sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n}<\dfrac{a+b}{2}$
设 $f\left(x\right) = \ln \left(x + 1\right) + \sqrt {x + 1} + ax + b$（$a,b \in {\mathbb{R}}$，$a,b$ 为常数），曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = \dfrac{3}{2}x$ 在 $\left( {0,0} \right)$ 点相切．
1、求 $a,b$ 的值．
2、证明：当 $0 < x < 2$ 时，$f\left(x\right) < \dfrac{9x}{x + 6}$．
