已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）经过 $A\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$，$B\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$，$D\left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$E(0,1)$，$G(-1,0)$ 五个点中的三个．
1、求椭圆 $C$ 的方程．
2、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且与圆 $O: x^{2}+y^{2}=\dfrac{3}{4}$ 相切，证明：$\triangle P O Q$ 为直角三角形．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a \ln (x+1)-1$，其中 $a \in \mathbb{R}$，$\mathrm{e}$ 是自然对数的底数．
1、若 $f(x)$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
2、若 $a=1$，判断函数 $g(x)=f(x)-\sin x$ 的零点个数． （参考数据：$\ln 2 \approx 0.693$，$\mathrm{e} \approx 2.718$）
已知定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2+1}$．
1、求证：$f(x)>1$．
2、设函数 $g(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}$，求函数 $g(x)$ 的单调区间，并证明：对任意的正实数 $m>0$，总存在 $x_0>0$，使 $g(x_0)>m$．
设数列 $E: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{M}$（$M \geqslant 2$），若 $\exists n \in \mathbb N^{*}$ 且 $n \geqslant 2$，使得 $a_{i}>a_{n}$（$i=1,2,3, \cdots, n-1$）成立，则称 $n$ 为数列 $E$ 的一个至低点．若数列 $E$ 有 $p$ 个至低点，则称数列 $E$ 为 $p$ 阶至低数列．
1、直接写出数列 $E:-1,2,0,-2,4,-5$ 的所有至低点．
2、证明：若数列 $E$ 为 $0$ 阶至低数列，则有 $a_{1} \leqslant a_{n}$（$n=1,2,3, \cdots, M$）．
3、若数列 $E$ 为 $k$ 阶至低数列，且满足 $a_{n+1} \geqslant a_{n}-2$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．证明：$a_{1}-a_{M} \leqslant 2 k$．
已知函数 $f(x)=(2 a-1) x-2 a \ln x-\dfrac{1}{x}$，$a \in \mathbb{R}$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $\dfrac{1}{2}<a<1$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{2(a-1)\left(a^{3}+1\right)}{2 a-1}$ 对 $x \in(1,+\infty)$ 恒成立．
已知函数 $f(x)=\dfrac{a \ln x+1}{x}$（$a \in \mathbb{R}$），$g(x)=\mathrm{e}^{x}-1$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(\mathrm{e})=\dfrac{2}{\mathrm{e}}$，求证：$g(x) \geqslant f(x)$．
已知函数 $f(x)=\ln x-n \sqrt[n]{x}+n$（$n \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $n \geqslant 2$）．
1、证明：$f(x) \leqslant 0$．
2、证明：对 $t \in(1,4), \ln t+\sqrt{t}<\dfrac{10 t-4}{t+5}$．
已知函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right) \ln x$．
1、求证：函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
2、若 $\dfrac{2 f(x)-m}{\mathrm{e}^{m x}} \leqslant m$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{m x}+x-x \ln x$（$m \geqslant 0$）．
1、当 $m=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的值域．
2、设函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$，讨论 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数．
已知函数 $f(x)=x{\rm e}^x-\dfrac a2x(x+2)-1$（$a\in\mathbb R$）．
1、若 $x=-1$ 为 $f(x)$ 的极小值点，求 $a$ 的取值范围．
2、若 $f(x)$ 有唯一的极值 $-\dfrac{1}{\rm e}-1$，证明：$\forall x\geqslant -1,f(x)+1\geqslant \sin x$．
