每日一题[2694]分而治之

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a \ln (x+1)-1$,其中 $a \in \mathbb{R}$,$\mathrm{e}$ 是自然对数的底数.

1、若 $f(x)$ 单调递增,求 $a$ 的取值范围.

2、若 $a=1$,判断函数 $g(x)=f(x)-\sin x$ 的零点个数. (参考数据:$\ln 2 \approx 0.693$,$\mathrm{e} \approx 2.718$)

解析

1、根据题意,有函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{a}{x+1}\geqslant 0,\]讨论分界点为 $a=0$.

情形一     $a\leqslant 0$.此时符合题意.

情形二     $a>0$.此时取 $x=\min\{-1+\dfrac 12a,0\}$,则\[f'(x)\leqslant 1-\dfrac a{x+1}<-1,\]不符合题意.

综上所述,$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$.

2、函数 $g(x)={\rm e}^x-\ln (x+1)-1-\sin x$,则 $g(0)=0$,且当 $x<0$ 时,有 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}-\cos x<0,\]因此 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减,没有零点. 当 $x\geqslant 1$ 时,有\[g'(x)\geqslant {\rm e}-\dfrac 12-1>0,\]而\[g(1)={\rm e}-\ln 2-1-\sin 1>2.7-0.7-1-1=0,\]因此 $g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增,没有零点. 当 $0<x<1$ 时,有 $g'(x)>0$,而\[g'(0)=-1,\quad g'(1)>0,\]因此 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上线单调递减,后单调递增,结合 $g(0)=0$,$g(1)>0$,可得 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点.

综上所述,函数 $g(x)$ 的零点个数为 $2$.

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每日一题[2694]分而治之》有一条回应

  1. Avatar photo yuanhongyi说:

    倒数第四行“线”应为“先”

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