每日一题[2689]基本放缩

已知函数 $f(x)=\ln x-n \sqrt[n]{x}+n$（$n \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $n \geqslant 2$）．

1、证明：$f(x) \leqslant 0$．

2、证明：对 $t \in(1,4), \ln t+\sqrt{t}<\dfrac{10 t-4}{t+5}$．

解析

1、我们熟知\[\ln x\leqslant x-1,\]令 $x\to \sqrt[n]x$，有\[\ln\sqrt[n]x\leqslant \sqrt[n]x-1\iff \dfrac 1n\ln x\leqslant \sqrt[n]x-1\iff \ln x\leqslant n\sqrt[n]x-n,\]因此 $f(x)\leqslant 0$，原命题得证．

2、题中不等式即\[\forall x\in (1,2),2\ln x+x<\dfrac{10x^2-4}{x^2+5},\]注意到 $\ln x\leqslant x-1$，因此只需要证明\[\forall x\in (1,2),3x-2<\dfrac{10x^2-4}{x^2+5},\]而\[(10x^2-4)-(3x-2)(x^2+5)=3(2-x)(x-1)^2,\]因此原命题得证．