若 $\sin \theta+\cos\theta=\dfrac 75$，且 $\tan \theta<1$，则 $\sin\theta=$_______．
已知 $x,y\geqslant 0$，$x^{2019}+y=1$，求证：$x+y^{2019}>1-\dfrac 1{300}$．（参考数据：$\ln 2019\approx 7.610$．）
数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_2=6$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2+9}{a_n}$（$n\in\mathbb Z^+$）．
1、证明：数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列．
2、是否存在 $m\in\mathbb N^+$，使得 $2109\mid a_m$，并说明理由．
设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数，对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\dfrac 4x$，$f\left(f(x)+\dfrac 4x\right)=3$，则 $f(8)=$ _______．
已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，函数 $f(x)=[2\sin x\cos x]+[\sin x+\cos x]$ 的值域为_______．
已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\displaystyle S_n^2=\sum_{i=1}^na_i^3$．
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{\sqrt k}{a_k^2}<3$．
已知定长为 $4$ 的线段 $AB$ 的两端点，分别在两条相交直线 $x\pm 2y=0$ 上移动． 设线段 $AB$ 的中点为 $G$，
1、求点 $G$ 的轨迹 $C$ 的方程．
2、若由点 $P$ 向曲线 $C$ 作出的两条切线互相垂直，求证：动点 $P$ 在定圆上．
平面区域 $S=\left\{(x,y)\mid x,y\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right],\sin^2x-\sin x\cdot \sin y+\sin^2y\leqslant \dfrac 34\right\}$ 的面积为_______．
