每日一题[2546]差分消常数

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$,$a_2=6$,$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2+9}{a_n}$($n\in\mathbb Z^+$).

1、证明:数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列.

2、是否存在 $m\in\mathbb N^+$,使得 $2109\mid a_m$,并说明理由.

解析

1、根据题意,有\[a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2=9\implies a_{n+3}a_{n+1}-a_{n+2}^2=9,\]两式相减,可得\[\dfrac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}},\]进而可得\[\dfrac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\cdots=\dfrac{a_3+a_1}{a_2}=3.\]这样就有\[a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n,\]因此数列 $\{a_n\}$ 是正整数数列.

2、由于 $2109=3\cdot 19\cdot 37$,显然 $3\mid a_n$($n\in\mathbb N^{\ast}$),考虑 $\{a_n\}$ 模 $19$ 的余数,是周期数列\[\underbrace{3,6,15,1,7,1,15,6,3},3,6,\cdots,\]因此不存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$,使得 $2109\mid a_m$.

备注    也可以利用第 $(1)$ 小题的结论,有\[a_{n+1}^2\equiv -9\pmod{19},\]因此 $\{a_n\}$ 中不存在 $19$ 的倍数,从而不存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$,使得 $2109\mid a_m$.

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