每日一题[2545]单射之力

设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调函数,对任意 $x>0$ 有 $f(x)>-\dfrac 4x$,$f\left(f(x)+\dfrac 4x\right)=3$,则 $f(8)=$ _______.

答案    $\dfrac 72$.

解析    根据题意,$f$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单射,因此函数值为 $3$ 的自变量取值唯一,设为 $m$($m>0$),此时有\[f(x)+\dfrac 4x=m\iff f(x)=-\dfrac 4x+m,\]从而\[f(m)=-\dfrac 4m+m\implies 3=-\dfrac 4m+m,\]解得 $m=4$,因此 $f(8)=-\dfrac 48+4=\dfrac 72$.

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