已知函数 $f(x)=\ln x+a x^2$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、设 $g(x)=f(x)-a x$，讨论函数 $g(x)$ 的零点个数．
已知函数 $f(x)=x^2 {\rm e}^x-m(x+1) \ln x$．
1、若 $m \leqslant 0$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $m \in(0,2 {\rm e}]$，证明：函数 $f(x)$ 无零点．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+m}{x^2}$．
1、当 $m=1$ 时，求 $f(x)$ 的最大值．
2、讨论关于 $x$ 的方程 $f(x)=m-\ln x$ 的实数解的个数．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}+k\ln x$，$k\ne 0$．
1、当 $k=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值．
2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x^2+a x+\ln x$，$a \in\mathbb R$．
1、若函数 $f(x)$ 存在两个极值，求 $a$ 的取值范围，并证明：函数 $f(x)$ 存在唯一零点．
2、若存在实数 $x_1, x_2$，使 $f^{\prime}\left(x_1\right)+f^{\prime}\left(x_2\right)=0$，且 $x_2<x_1<2 x_2$，求 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=x+\dfrac{1}{x}$（$x>0$）．
1、若 $F(x)=f(x)+g(x)$，求 $F(x)$ 的单调区间．
2、若 $G(x)=2 g(x) \cdot f(x)$，有 $G(x) \leqslant m {\rm e}^{m x}+m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=(x+t) \ln x$，若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $x-y=0$ 平行．
1、求 $t$ 的值及函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、已知 $a>0$，若函数 $y={\rm e}^{a x}$ 与函数 $y=\dfrac{f\left(\dfrac{1}{x}\right)}{a x}$ 的图像在 $x \in\left(0, \dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 有交点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=4 {\rm e} \ln x-\dfrac{x^2}{x-{\rm e} \ln x}+2 m x$ 存在 $4$ 个零点，求实数 $m$ 的取值范围．
已知函数若函数 $f(x)=\left(2 a x+\dfrac{\ln x}{x}\right) \ln x-(a-1) x^3$ 有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a x+x \ln x$ 图象在点 $x={\rm e}$ 处的切线的斜率为 $ 3$．
1、求实数 $a$ 的值．
2、若 $f(x) \leqslant k x^2$ 对任意 $x>0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．
3、当 $n>m>1$（$m, n \in \mathbb N^{\ast}$）时，证明：$\dfrac{\sqrt[n]{m}}{\sqrt[m]{n}}>\dfrac{m}{n}$．
