设函数 $f\left( x \right) = {x^2} + ax + b$，$g\left( x \right) = {\mathrm{e}}^x\left( {cx + d} \right)$，若曲线 $y = f\left( x \right)$ 和曲线 $y = g\left( x \right)$ 都过点 $P\left( {0,2} \right)$，且在点 $P$ 处有相同的切线 $y = 4x + 2$．
1、求 $a,b,c,d$ 的值．
2、若 $x \geqslant - 2$ 时，$f\left( x \right) \leqslant kg\left( x \right)$，求 $k$ 的取值范围．
若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+ax+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值是_______．
已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}{{\mathrm{e}}^{ - x}}$．
1、求 $f\left(x\right)$ 的极小值和极大值．
2、当曲线 $y = f\left(x\right)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．
已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \ln \left( {x + m} \right)$．
1、设 $x = 0$ 是 $f\left( x \right)$ 的极值点，求 $m$，并讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性．
2、当 $m \leqslant 2$ 时，证明 $f\left( x \right) > 0$．
平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 $（$a > b > 0$）右焦点的直线 $x + y - \sqrt 3 = 0$ 交 $M$ 于 $A,B$ 两点，$P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$．
1、求 $M$ 的方程．
2、$C,D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值．
等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $S_{10}=0$，$S_{15}=25$，则 $nS_{n}$ 的最小值为_______．
已知首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列，其前 $n$ 项和为 ${S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}\right)$，且 ${S_3} + {a_3},{S_5} + {a_5},{S_4} + {a_4}$ 成等差数列．
1、求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式．
2、设 ${T_n} = {S_n} - \dfrac{1}{S_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$），求数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 的最大项的值与最小项的值．
已知函数 $f\left(x\right) = x\left( {1 + a\left| x \right|} \right)$．设关于 $x$ 的不等式 $f\left( {x + a} \right) < f\left( x \right)$ 的解集为 $A$，若 $\left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right] \subseteq A$，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right)$
B．$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 3 }{2},0} \right)$
C．$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right) \cup \left( {0,\dfrac{1 + \sqrt 3 }{2}} \right)$
D．$\left( { - \infty ,\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2}} \right)$
设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$：\[1, - 2, - 2,3,3,3, - 4, - 4, - 4, - 4, \cdots ,\underbrace {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k, \cdots ,{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k}_{k~\text{个}}, \cdots ,\]即当 $\dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} < n \leqslant \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}$（$k \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$）时，${a_n} = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}k$．记 ${S_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$）．对于 $l \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，定义集合 ${P_l} = \left\{ {n\mid {S_n}~\text{是}~{a_n}~\text{的整数倍}~,n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}},~\text{且}~1 \leqslant n \leqslant l} \right\}$．
1、求集合 ${P_{11}}$ 中元素的个数．
2、求集合 ${P_{2000}}$ 中元素的个数．
设函数 $f\left(x\right) = \ln x - ax$，$g\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} - ax$，其中 $a$ 为实数．
1、若 $f\left(x\right)$ 在 $\left(1, + \infty \right)$ 上是单调减函数，且 $g\left(x\right)$ 在 $\left(1, + \infty \right)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围．
2、若 $g\left(x\right)$ 在 $\left( - 1, + \infty \right)$ 上是单调增函数，试求 $f\left(x\right)$ 的零点个数，并证明你的结论．
