已知函数 $f(x)=a x+x \ln x$ 图象在点 $x={\rm e}$ 处的切线的斜率为 $ 3$．
1、求实数 $a$ 的值．
2、若 $f(x) \leqslant k x^2$ 对任意 $x>0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．
3、当 $n>m>1$（$m, n \in \mathbb N^{\ast}$）时，证明：$\dfrac{\sqrt[n]{m}}{\sqrt[m]{n}}>\dfrac{m}{n}$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a+\ln x+1,\]因此 $f'({\rm e})=a+2$，从而实数 $a$ 的值为 $1$．
2、根据题意，有\[\forall x>0,~k\geqslant \dfrac{1+\ln x}{x},\]设不等式右侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2},\]于是函数 $g(x)$ 的最大值为 $g(1)=1$，因此实数 $k$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．
3、题中不等式即\[\dfrac 1n\ln m-\dfrac 1m\ln n>\ln m-\ln n\iff \dfrac{n\ln n}{n-1}>\dfrac{m\ln m}{m-1},\]只需要证明 $h(x)=\dfrac{x\ln x}{x-1}$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增，其导函数\[h'(x)=\dfrac{-1+x-\ln x}{(x-1)^2}>0,\]因此命题得证．