每日一题[2593]复合嵌套

已知函数 $f(x)=\ln x$,$g(x)=x+\dfrac{1}{x}$($x>0$).

1、若 $F(x)=f(x)+g(x)$,求 $F(x)$ 的单调区间.

2、若 $G(x)=2 g(x) \cdot f(x)$,有 $G(x) \leqslant m {\rm e}^{m x}+m$ 恒成立,求实数 $m$ 的取值范围.

解析

1、函数 $F(x)=\ln x+x+\dfrac 1x$,其导函数\[F'(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x^2},\]于是 $F(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac{-1+\sqrt 5}2,+\infty\right)$,单调递减区间是 $\left(0,\dfrac{-1+\sqrt 5}2\right)$.

2、函数 $G(x)=2\left(x+\dfrac 1x\right)\ln x$,于是\[G(x)\leqslant m{\rm e}^{mx}+m\iff 2(x^2+1)\ln x\leqslant mx\left({\rm e}^{mx}+1\right)\iff h(x^2)\leqslant h\left({\rm e}^{mx}\right),\]其中 $h(x)=(x+1)\ln x$,函数 $h(x)$ 的导函数\[h'(x)=\ln x+\dfrac 1x+1>\left(1-\dfrac 1x\right)+\dfrac 1x+1>0,\]于是 $h(x)$ 单调递增,进而\[h(x^2)\leqslant h\left({\rm e}^{mx}\right)\iff x^2\leqslant {\rm e}^{mx}\iff m\geqslant \dfrac{2\ln x}{x},\]设右侧函数为 $r(x)$,则\[r'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline r(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{2}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline\end{array}\]因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复