已知 $g(x)=\dfrac{1}{2} a x^2-x \ln x+x$，当 $g(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$）时，求证： \[ (2 a \mathrm{e}-1)\left(x_1+x_2\right)<2 \mathrm{e} . \]
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-2 x+a \ln x$（$a>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有 $2 $ 个极值点 $x_1, x_2$，证明：$\left|\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\right|<\sqrt{1-a}$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} a x^2+\ln x $，$g(x)=-b x$，其中 $a , b \in \mathbb{R}$．设 $h(x)=f(x)-g(x)$．
1、若 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值，且 $f^{\prime}(1)=g(-1)-2$，求函数 $h(x)$ 的单调区间．
2、若 $a=0$ 时，函数 $h(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 , x_2$．
① 求 $b$ 的取值范围．
② 求证：$\dfrac{x_1 x_2}{\mathrm{e}^2}>1$．
已知函数 $f(x)=a x(\ln x-1)-x^2$（$a \in \mathbb{R}$）恰有两个极值点 $x_1 , x_2$，且 $x_1<x_2$．
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、若不等式 $\ln x_1+\lambda \ln x_2>1+\lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-a x^2-1$（$x \in \mathbb{R}$）有两个极值点 $x_1 , x_2$．
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、求证：$a \mathrm{e}^{2 x_1}+a \mathrm{e}^{2 x_1}>2 \mathrm{e}^{2 x_1} \cdot \mathrm{e}^{2 x_2}$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x\left(x^2+3 x+a\right)$．
1、求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$，设 $A\left(x_1, f\left(x_1\right)\right) , B\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$，是否存在 $a$，使得直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点在曲线 $y=f(x)$ 上？如果存在，求 $a$ 的值；如果不存在，请说明理由．
已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，当 $x<0$ 时，$f(x)>1$，且对任意的实数 $x , y \in \mathbb{R}$，等式 $f(x) f(y)=f(x+y)$ 成立，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $f\left(a_{n+1}\right) f\left(\dfrac{1}{1+a_n}\right)=1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），且 $a_1=f(0)$，则下列结论成立的是（ ）
A．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2016}\right)$
B．$f\left(a_{2014}\right)>f\left(a_{2017}\right)$
C．$f\left(a_{2016}\right)<f\left(a_{2015}\right)$
D．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2015}\right)$
如图所示，已知 $A_0(0,0) $，$A_1(4,0)$，对任何 $n \in \mathbb{N}$，点 $A_{n+2}$ 按照如下方式生成：$\angle A_n A_{n+1} A_{n+2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\left|\overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}\right|=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}\right|$，且 $A_n , A_{n+1}, A_{n+2}$ 按逆时针排列，记点 $A_n$ 的 坐标为 $\left(a_n, b_n\right)$（$n \in \mathbb{N}$），则 $\left(\lim\limits _{n \rightarrow \infty} a_n, \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b_n\right)$ 为（ ）
A．$\left(\dfrac{20}{7}, \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)$
B．$\left(3, \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)$
C．$\left(3, \dfrac{5 \sqrt{3}}{8}\right)$
D．$\left(\dfrac{20}{7}, \dfrac{5 \sqrt{3}}{8}\right)$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt{n}} a_{n+1}^2$，则下列正确的是（ ）
A．$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
B．数列 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是递减数列
C．数列 $\left\{a_{n+1}+a_n\right\}$ 是递增数列
D．$a_{n+1}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(x+1)^2$，令 $f_1(x)=f^{\prime}(x) $，$f_{n+1}(x)=f_n^{\prime}(x)$，若 $f_n(x)=\mathrm{e}^x\left(a_n x^2+b_n x+c_n\right)$，记数列 $\left\{\dfrac{2 a_n}{2 c_n-b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则下列选项中与 $S_{2019}$ 的值最接近的是（ ）
A．$\dfrac{3}{2}$
B．$\dfrac{5}{3}$
C．$\dfrac{7}{4}$
D．$\dfrac{9}{5}$
