对于数列 $\left\{a_n\right\}$，有 $a_1=a$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{a_n^2-2 a_n+2}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），以下结论中正确的是（ ）
A．若 $a<1$，则 $a_n<1$
B．对 $a \in \mathbb{R}$，均有 $0 \leqslant a_{n+1}<2$
C．若 $0<a<1$，则 $a_{n+1}<a_n$
D．对任意正整数 $n$，均有 $(a-1)\left(a_n-1\right) \geqslant 0$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_{n+1}=2+\sqrt{4 a_n-a_n^2}$，则 $a_1+a_{2018}$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$4$
C．$4-2 \sqrt{2}$
D．$4+2 \sqrt{2}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$ a_{n+1} a_n=a_n^2+2 a_n+1$，则使得 $\left|\sqrt{a_{2020}}-m\right|$ 最小的整数 $m$ 是（ ）
A．$65$
B．$64$
C．$63$
D．$62$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1$，若 $a_{n+1}=\dfrac{(n+1) a_n}{n+1+a_n}$，则下列结论中正确的是（ ）
A．$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{1}{2}$
B．$\dfrac{1}{a_{n+2}}-\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{2}{\sqrt{(n+2)(n+1)}}$
C．$\dfrac{1}{a_{2 n}}-\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{1}{2}$
D．$a_n \cdot \ln (n+1)>1$
已知 $a , b$ 是不相等的两个正数，在 $a , b$ 之间插入两组实数：$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_n $，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，且 $n \geqslant 2$，使得 $a, x_1, x_2, \cdots, x_n, b$ 成等差数列，$a, y_1, y_2, \cdots, y_n, b$ 成等比数列，下列命题正确的有（ ）
A．$x_1+x_2+\cdots x_n=\dfrac{n(a+b)}{2}$
B．$\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots x_n\right)>\sqrt{a b}+\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}\right)^2$
C．$\sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n}=\sqrt{a b}$
D．$\sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n}<\dfrac{a+b}{2}$
设 $f\left(x\right) = \ln \left(x + 1\right) + \sqrt {x + 1} + ax + b$（$a,b \in {\mathbb{R}}$，$a,b$ 为常数），曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = \dfrac{3}{2}x$ 在 $\left( {0,0} \right)$ 点相切．
1、求 $a,b$ 的值．
2、证明：当 $0 < x < 2$ 时，$f\left(x\right) < \dfrac{9x}{x + 6}$．
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{1-x}{a x}$（$a \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$），$g(x)=bx-x \mathrm{e}^x-\dfrac{1}{x}$（$b \in \mathbb{R}$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $a=1$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)+g(x) \leqslant-2$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AD=1$，$BD=\sqrt 5$，$AB\perp AC$，$AC=2AB$，则 $CD$ 的最小值为（ ）
A．$5$
B．$3\sqrt 3$
C．$\sqrt 5$
D．$3\sqrt 5$
对于正整数集合 $A$，记 $A-\{a\}=\{x\mid x\in A,x\ne a\}$，记集合 $X$ 的所有元素之和为 $S(X)$，且 $S(\varnothing)=0$．若对 $x\in A$，存在非空集合 $A_1,A_2$，满足：
① $A_1\cap A_2=\varnothing$；
② $A_1\cup A_2=A-\{x\}$；③ $S(A_1)=S(A_2)$， 称 $A$ 存在“双拆”．
若对任意 $x\in A$，$A$ 均存在双拆，称 $A$ 可以“任意双拆”．
1、判断集合 $\{1,2,3,4\}$ 和 $\{1,3,5,7,9,11\}$ 是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？
2、$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，证明：$A$ 不能“任意双拆”．
3、若 $A$ 可以“任意双拆”，求 $A$ 中元素个数的最小值．
对于集合 $A$，称定义域和值域均为 $A$ 的函数 $y=f(x)$ 为集合 $A$ 上的等域函数．
① 若 $A=\{1,2\}$，则 $A$ 上的等域函数有_______个；
② 若存在 $A=[m,n]$，使得 $f(x)=a(x-1)^2-1$ 为 $A$ 上的等域函数，实数 $a$ 的取值范围是_______．
