已知 $\tan \alpha \tan \beta=1$，则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac{1}{2}$
B．$\dfrac{1}{4}$
C．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D．$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
若将函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$（$\omega>0$）的图像向右平移 $ \dfrac{\pi}{3} $ 个单位长度后，与函数 $ y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图像重合，则 $ \omega$ 的最小值是（ ）
A．$\dfrac{21}{4}$
B．$\dfrac{19}{4}$
C．$\dfrac{17}{4}$
D．$\dfrac{15}{4}$
若 $\left(x+\dfrac{1}{2 x}-\sqrt{2}\right)^{n}$ 展开式的常数项为 $\dfrac{35}{2}$，则正整数 $n$ 的值为_______．
已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}4=1$ 的左、右焦点，点 $A$ 在双曲线右支，$P\left(\sqrt 5,2\right)$ 为一定点，若对任意实数 $m$，直线 $2x+y+m=0$ 与双曲线 $C$ 至多有一个公共点，则 $|AP|+|AF_2|$ 的最小值为_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a, b>0$）的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{6}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右支分别交于 点 $A, B$．且 $\left|A F_{2}\right|=\left|B F_{2}\right|$，则该双曲线的离心率为_______．
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AD=1$，$BD=\sqrt 5$，$AB\perp AC$，$AC=2AB$，则 $CD$ 的最小值为（ ）
A．$5$
B．$3\sqrt 3$
C．$\sqrt 5$
D．$3\sqrt 5$
若关于 $x$ 的不等式 $2 \mathrm{e}^{x-2}+(a-2) x+2>2 a+a \ln (x-1)$ 在 $(2,+\infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$\left[-\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
B．$(-1,+\infty)$
C．$[-1,+\infty)$
D．$[-2,+\infty)$
已知圆 $C:(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=1$，过 $x$ 轴上一点 $A$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{M N}$，则点 $A$ 的横坐标的取值范围为_______．
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，$P$ 是空间任意一点．
① 若点 $P$ 是正方体表面上的点，则满足 $|AP|=\dfrac12$ 的动点轨迹长是 $\dfrac{3\pi}4$；
② 若点 $P$ 是线段 $AD_1$ 上的点，则异面直线 $BP$ 和 $B_1C$ 所成角的取值范围是 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right]$；
③ 若点 $P$ 是侧面 $BCC_1B_1$ 上的点，$P$ 到直线 $BC$ 的距离与到点 $C_1$ 的距离之和为 $2$，则点 $P$ 的轨迹是椭圆；
④ 过点 $P$ 的平面 $\alpha$ 与正方体每条棱所成角都相等，则平面 $\alpha$ 截正方体所得截面的最大面积是 $3\sqrt 3$．
以上说法正确的有[[nn]]．
设函数 $f(x)=\ln (a-x)-x+{\rm e}$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $a={\rm e}$ 时，证明：$f({\rm e}-x)<{\rm e}^{x}+\dfrac{x}{2 {\rm e}}$．
