每日一题[2677]对准

若将函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$($\omega>0$)的图像向右平移 $ \dfrac{\pi}{3} $ 个单位长度后,与函数 $ y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图像重合,则 $ \omega$ 的最小值是(       )

A.$\dfrac{21}{4}$

B.$\dfrac{19}{4}$

C.$\dfrac{17}{4}$

D.$\dfrac{15}{4}$

答案    B.

解析    根据题意,函数 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的起始零点(导函数为正的零点)为\[\omega x+\dfrac{\pi}4=2k_1\pi,k_1\in\mathbb Z\iff x=\dfrac{2k\pi}{\omega} -\dfrac{\pi}{4\omega},k_1\in\mathbb Z,\]而函数 $y=\cos \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的起始零点为\[\omega x+\dfrac{\pi}6=2k_2\pi-\dfrac{\pi}2,k_2\in\mathbb Z\iff x=\dfrac{2k\pi}{\omega}-\dfrac{2\pi}{3\omega},k_2\in\mathbb Z,\]因此\[\left(-\dfrac{\pi}{4\omega}\right)+\dfrac{\pi}3=\left(-\dfrac{2\pi}{3\omega}\right)+\dfrac{2n\pi}{\omega},n\in\mathbb Z,\]即\[\omega =6n-\dfrac{5}4,n\in\mathbb Z,\]考虑到 $\omega>0$,于是 $n$ 的最小值为 $1$,$\omega$ 的最小值为 $\dfrac{19}4$.

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