每日一题[2674]左右逢源

已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a, b>0$)的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$,过点 $F_{1}$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{6}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左、右支分别交于 点 $A, B$.且 $\left|A F_{2}\right|=\left|B F_{2}\right|$,则该双曲线的离心率为_______.

解析    $\sqrt 2$.

不妨设 $a=1$,双曲线的离心率为 $e$,设 $|AF_2|=|BF_2|=m$,则 $|BF_1|=m-2$,$|AF_1|=m+2$,$|F_1F_2|=2e$,取 $AB$ 的中点 $M$,则 $|MF_1|=m$.

在 ${\rm Rt}\triangle F_2MF_1$ 中,由 $\angle MF_1F_2=\dfrac{\pi}6$,可得 $|F_1F_2|=\dfrac2{\sqrt 3}m$,$|F_2M|=\dfrac{m}{\sqrt 3}$,进而在 ${\rm Rt}\triangle F_2MA$ 中可得\[|AF_2|^2=|AM|^2+|MF_2|^2\iff m^2=4+\dfrac{m^2}3\iff m=\sqrt 6,\]于是所求离心率\[e=\dfrac{|F_1F_2|}2=\dfrac{m}{\sqrt 3}=\sqrt 2.\]

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