已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{2 a}{x}$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、证明：当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$f(x)>{\rm e}^{-x}+\dfrac{1}{2}$．
设单调递增函数 $f(x)$ 满足：$\forall a\in\mathbb R,~a\in\{f(a+1)\}\cup \{f(f(a+2))\}$，则（ ）
A．$2f(1)\leqslant 1$
B．$2f(1)\geqslant -1$
C．$f(0)+f(1)\leqslant 0$
D．$f(0)+f(1)\geqslant -1$
已知正数 $a,b$ 满足等式 $a^2-b=2(2\ln b-\ln a)$，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A．$a>b^2>\dfrac 12$
B．$a<b^2<\dfrac 12$
C．$a>b>1$
D．$b<a<1$
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．过点 $D(1,0)$ 且不经过点 $M(1,1)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，直线 $MQ$ 与直线 $x=4$ 交于 $E$ 点，直线 $PE$ 与直线 $MD$ 交于 $N$ 点．求证：$\triangle EMN$ 的面积为定值．
记锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 \[ (\sin A-2 \sin 2 B) \tan A=2-2 \cos 2 B. \]
1、求 $\dfrac{a^2}{b c}$．
2、求 $\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}$ 的取值范围．
$11$ 月，$2019$ 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地一一安徽凤阳举办，其间甲、乙两人 轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一 位置，甲先投，每人投一次球，两人有 $1$ 人命中，命中者得 $1$ 分，末命中者得 $-1$ 分；两人都命中或都末命中，两人均得 $0$ 分．设甲每次投球命中的概率为 $\dfrac{1}{2}$，乙每次投球命中的概率为 $\dfrac{2}{3}$ 且各次投球互不影响．
1、经过 $1$ 轮投球，记甲的得分为 $X$，求 $X$ 的分布列．
2、若经过 $n$ 轮投球，用 $p_i$ 表示经过第 $i$ 次投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．
① 求 $p_1, p_2, p_3$．
② 规定 $p_0=0$，经过计算机计算可估计得 $p_i=a p_{i+1}+b p_i+c p_{i-1}$（$b \neq 1$），请根据 ① 中 $p_1 , p_2 , p_3$ 的值分别写出 $a , c$ 关于 $b$ 的表达式，并由此求出数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式．
武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 $1$ 分，若继续游玩东湖记 $2$ 分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，游客之间选择意愿相互独立．
1、从游客中随机抽取 $ 3$ 人，记总得分为随机变量 $X$，求 $X$ 的分布列与数学期望．
2、回答下列问题：
① 若从游客中随机抽取 $m$ 人，记总分恰为 $m$ 分的概率为 $A_m$，求数列 $\left\{A_m\right\}$ 的前 $ 10 $ 项和．
② 在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 $n$ 分的概率为 $B_n$，探讨 $B_n$ 与 $B_{n-1}$ 之间的关系，并求数列 $\left\{B_n\right\}$ 的通项公式．
