每日一题[2678]最值两手

已知 $\tan \alpha \tan \beta=1$,则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的最大值为(       )

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{1}{4}$

C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

答案    A.

解法一    根据题意,有\[\tan\alpha=\tan\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)\iff \alpha=\left(\dfrac{\pi}2-\beta\right)+k\pi,k\in\mathbb Z,\]于是\[\cos\alpha\cos\beta=\cos\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha+k\pi\right),\]其最大值即 $\left|\cos\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)\right|=\dfrac 12\left|\sin2\alpha\right|$ 的最大值,为 $\dfrac 12$.

解法二    注意到 $\tan^2x=1+\dfrac{1}{\cos^2 x}$,于是问题可以转化为已知 $ab=1$,$a,b>0$,求 $\sqrt{\dfrac{1}{(1+a)(1+b)}}$ 的最大值,其中 $a=\tan^2\alpha$,$b=\tan^2\beta$.此时\[\sqrt{\dfrac{1}{(1+a)(1+b)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2+a+b}}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2+2\sqrt{ab}}}=\dfrac 12,\]等号当 $a=b=1$ 时取得,因此所求最大值为 $\dfrac 12$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论