已知圆 $E:(x+3)^2+y^2=16$ 和定点 $F(3,0)$，动点 $P$ 是圆 $E$ 上任意一点，线段 $PF$ 的垂直平分线与直线 $PE$ 交于点 $Q$，设曲线 $\Gamma$ 为点 $Q$ 的轨迹．
1、求曲线 $\Gamma$ 的方程；
2、设 $R(0,2)$，斜率为 $k$（$k\neq 0$）的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $AR,BR$ 分别与曲线 $\Gamma$ 交于 $C,D$ 两点；
① 若直线 $AR,BR$ 的斜率之和为 $0$，证明：直线 $AB$ 过定点；
② 若 $k=2$，证明：直线 $CD$ 过定点．
解析
1、根据双曲线的第一定义，曲线 $\Gamma$ 是以 $E(-3,0)$ 和 $F(3,0)$ 为焦点，圆 $E$ 的半径 $r=4$ 为实轴长的双曲线，方程为 $\frac{x^2}4-\frac{y^2}5=1$．
2、① 平移坐标系使 $R$ 为原点．
新坐标系下 双曲线方程为\[\frac{x^2}4-\frac{(y+2)^2}5=1\iff \frac{x^2}4-\frac{y^2}5-\frac {4y}5-\frac 95=0,\]设 $AB:mx+ny=1$（$m\ne 0$），化齐次联立，可得\[\frac{x^2}4-\frac{y^2}5-\frac {4y}5(mx+ny)-\frac 95(mx+ny)^2=0,\]由于直线 $AR,BR$ 斜率之和为 $0$，于是该方程的交叉项 $xy$ 的系数为 $0$，即\[-\frac {4m}5-\frac 95\cdot 2mn=0\iff n=-\frac 29,\]因此 $AB$ 恒过定点 $\left(0,-\frac 92\right)$．
回到原坐标系 直线 $AB$ 过定点 $\left(0,-\frac 52\right)$．
② 设 $f(x,y)=\frac{x^2}4-\frac{y^2}5-1$，$g(x,y)=2x-y+t$，其中 $f(x,y)=0$ 为双曲线方程，$g(x,y)=0$ 为直线 $AB$ 的方程，则直线 $CD$ 的方程为\[f(R)\cdot g(x,y)-2g(R)\cdot f_R(x,y)=0,\]即\[-\frac 95(2x-y+t)-2(-2+t)\left(-\frac{2y}5-1\right)=0,\]也即\[(4y+1)t+(-18x+y-20)=0,\]因此直线 $CD$ 过定点 $\left(-\frac 98,-\frac 14\right)$．