已知不等式 $\mathrm e^{a x}+\mathrm e^{\frac a x}\leqslant 2\mathrm e^a$ 对任意 $x\in(0,+\infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 _____．
答案 $[-\ln 2,0]$．
解析 设 $f(x)=\mathrm e^{ax}+\mathrm e^{\frac ax}-2\mathrm e^a$，则注意到 $f(x)=f\left(\frac 1x\right)$，于是只需要考虑题中不等式对 $x\in [1,+\infty)$ 成立．一方面，有\[\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\begin{cases} +\infty,&a>0,\\ 1-2\mathrm e^a,&a\leqslant 0,\end{cases}\]于是 $a\in [-\ln 2,0]$． 另一方面，有 $f(1)=0$，且其导函数\[f'(x)=a\mathrm e^{ax}-\frac{a}{x^2}\mathrm e^{\frac ax}=\frac{-a}{x^2}\mathrm e^{\frac ax}\left(1-x^2\mathrm e^{a\left(x-\frac 1x\right)}\right),\]设 $g(x)=\ln \left(x^2\mathrm e^{a\left(x-\frac 1x\right)}\right)$，即\[g(x)=2\ln x+a\left(x-\frac 1x\right),\]因此其导函数\[g'(x)=\frac 2x+a\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{ax^2+2x+a}{x^2},\]注意到 $h(x)=ax^2+2x+a$ 满足 $h(1)=2+2a>0$，且开口向下，于是 $g(x)$ 先递增后递减，因此函数 $h(x)=1-\mathrm e^{g(x)}$ 先递减后递增，又 $h(1)=0$，且\[\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=1,\]于是 $f(x)$ 先递减后递增，结合 $f(1)=0$，且当 $a\in [-\ln 2,0]$ 时，有\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\leqslant 0,\]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-\ln 2,0]$．