某中学共有 $N$ 个社团（$N\geqslant 3$），学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会会随机邀请其中 $k$ 个社团参展（$1\leqslant k\leqslant N-1$，$k$ 为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从 $N$ 个社团中等可能地选取 $k$ 个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为 $X$．
1、求社团星火社至少参加一次博览会的概率；
2、求使概率 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m$ 的值（用 $N,k$ 表示）；
3、记随机变量 $X$ 的数学期望为 $E(X)$，方差为 $D(X)$；
① 求 $E(X)$；
② 证明：$D(X)<\dfrac{N+2}{16}$．
解析
1、社团星火社至少参加一次博览会的概率为\[1-\left(1-\frac kN\right)^2=\frac{k(2N-k)}{N^2}.\]
2、至少参展过一场博览会的社团总数为 $X=m$，即周三选中的 $k$ 个社团中，有 $m-k$ 个没有在周一被选中，则\[P(X=m)=\frac{\binom Nk\binom {k}{2k-m}\binom{N-k}{m-k}}{{\binom Nk}^2}=\frac{\binom {k}{m-k}\binom{N-k}{m-k}}{{\binom Nk}},\]于是\[\begin{split}\frac{P(X=m+1)}{P(X=m)}&=\frac{\binom {k}{m-k+1}\binom{N-k}{m-k+1}}{\binom {k}{m-k}\binom{N-k}{m-k}}\\ &=\frac{(2k-m)(N-m)}{(m-k+1)^2}\\ &=\frac{(k+1-t)(N-k+1-t)}{t^2}\\ &=1-\frac{N+2}{t}+(k+1)(N-k+1)\\ &=1-\frac{N+2}{t}+(k+1)(N+2)-(k+1)^2,\end{split}\]其中 $t=m-k+1$，于是当 $\frac{(k+1)^2}{N+2}$ 是整数时，$P(X=m)$ 在 $m=2k-\frac{(k+1)^2}{N+2}$ 和 $m=2k+1-\frac{(k+1)^2}{N+2}$ 处取得最大值；当 $\frac{(k+1)^2}{N+2}$ 不是整数时，$P(X=m)$ 在 $m=2k-\frac{(k+1)^2}{N+2}$ 处取得最大值．
3、根据题意，同时在周一和周三被选中的社团数量 $T$ 服从超几何分布．
① 随机变量 $X$ 的数学期望\[ E(X)=E(2k-T)=2k-E(T)=2k-k\cdot \frac kN=\frac{k(2N-k)}{N}.\]
② 随机变量 $X$ 的方差\[\begin{split} D(X)&=D(2k-T)=D(T)\\ &= k \cdot \frac{k}{N} \cdot \frac{N-k}{N} \cdot \frac{N-k}{N-1}\\ &=\frac{k^2(N-k)^2}{N^2(N-1)}\\ &\leqslant \frac{\left(\frac N2\right)^4}{N^2(N-1)}\\ &=\frac{N^2}{16(N-1)}\\ &<\frac{N^2+N-2}{16(N-1)}\\ &=\frac{N+2}{16} ,\end{split} \]命题得证．