不学好数学,你连祝福和海报都看不懂

2015年已接近尾声,2016年即将来到.据说在近期北理工的数学分析课上,老师给同学们的祝福语相当别致:

设$a_1=\sqrt{1+2015}$,$a_2=\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016}}$,$a_3=\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+2017}}}$,

一般的,设$a_n=\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}$,$n\in \mathbf {N_+}$.

求证:数列$\{a_n\}$收敛,并求$\lim\limits_{n \to \infty}a_n$的值.

谨以此题恭贺2016年新年!


这祝福,还真是让人感动的想哭啊……

解答    显然,$a_n>1$对于任意的正整数$n$恒成立.

因为

\[\begin{split}&\lvert a_n-2016 \rvert\\=&\left \lvert \sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}-2016 \right \rvert\\=&\left \lvert \dfrac {2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}-2015\times 2017}{\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}+2016}\right \rvert\\<&\dfrac {2015}{2017}\left \lvert \sqrt{1+2016\sqrt{1+2017\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}-2017\right \rvert\\=&\dfrac {2015}{2017}\left \lvert \dfrac {2016\sqrt{1+2017\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}-2016\times 2018}{\sqrt{1+2016\sqrt{1+2017\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}+2017}\right \rvert\\<&\dfrac {2015 \times 2016}{2017\times 2018}\left \lvert \sqrt{1+2017\sqrt{1+2018\sqrt{1+\cdots+(2013+n)\sqrt{1+(2014+n)}}}}-2018\right \rvert\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\<&\dfrac {2015\times 2016\times \cdots \times (2013+n)}{2017\times 2018\times \cdots\times (2015+n)}\left\lvert \sqrt{1+(2014+n)}-(2015+n) \right\rvert\\<&\dfrac {2015\times 2016\times \cdots \times (2013+n)}{2017\times 2018\times \cdots\times (2015+n)}\times (2014+n)\\=&\dfrac{2015\times 2016}{2015+n}, \end{split}\]

所以数列$\{a_n\}$收敛,且有$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=2016$.

还真是完美的2016年新年祝福呢~~

不过,怎么想到2016这个数的呢……当然是因为:

(1)我比较机智;

(2)这是2016年新年祝福啊!(来年改个数,这个祝福还能用~)

(3)拉马努金恒等式.事实上,如果注意到$$n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)},$$则有

$$\begin{split}&2016\\=&\sqrt{1+2015\times 2017}\\=&\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\times 2018}}\\=&\sqrt{1+2015\sqrt{1+2016\sqrt{1+2017\times 2019}}}\\=&\cdots.\end{split}$$

当然,这个做法是不严谨的.可是确实能算出结果,不服你打我呀~

不过说真的,我们可以先用这样的方法猜测出结果,然后再用严格的极限语言来推导.

 无独有偶,2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报中,也出现过拉马努金恒等式的身影.

如图,海报中左边是恒大队,右边是首尔队,数学棒棒的你,能否看出该海报的寓意?

201408312024464755

解答    我们先来解决左边那个式子.

设$a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$,

显然,$a_n\geqslant 1$对于任意的正整数$n$恒成立.

因为

\[\begin{split}&\lvert a_n-3 \rvert\\=&\left \lvert \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-3 \right \rvert\\=&\left \lvert \dfrac {2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-2\times 4}{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+3}\right \rvert\\<&\dfrac {2}{4}\left \lvert \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-4\right \rvert\\=&\dfrac {2}{4}\left \lvert \dfrac {3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}-3\times 5}{\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}+4}\right \rvert\\<&\dfrac {2 \times 3}{4\times 5}\left \lvert \sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}-5\right \rvert\\&\cdots\cdots\cdots\cdots\\<&\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\left\lvert \sqrt{1+n}-(1+n) \right\rvert\\<&\dfrac {2\times 3\times \cdots \times (n-1)}{4\times 5\times \cdots\times (n+1)}\times n\\=&\dfrac{6}{n+1}, \end{split}\]

所以数列$\{a_n\}$收敛,且有$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=3$.

当然,以下做法虽不严谨,但构思精巧,可以得出结果:

$$\begin{split}&3\\=&\sqrt{1+2\times 4}\\=&\sqrt{1+2\sqrt{1+3\times 5}}\\=&\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\times 6}}}\\=&\cdots.\end{split}$$

至于右边那个式子嘛,就是鼎鼎大名的欧拉公式了,\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1=0\).

欧拉公式的详情请听下回分解.

   2013年11月9日,2013赛季亚冠联赛决赛次回合,在广州市天河体育场展开争夺,中国广州恒大主场迎战韩国首尔FC.经过90分钟的激战,双方1-1战平.双方总比分战成3-3,广州恒大凭借客场进球多的优势夺冠.广州恒大拿到亚冠冠军,是中国足球职业化以后,中国俱乐部首次站在亚洲俱乐部赛事的最高领奖台上.

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