等边三角形——牵线搭桥我最行

等腰三角形内一点与三顶点连线组成的图形问题,通常以等腰三角形的一条边向同侧作等边三角形,从而得到更多的边等角等(如图1~3);当然有时也能由等腰三角形的对称性来解决问题(如图4).
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 《条条大路通罗马》中所给的例题和练习题比较特殊,并不是每题都所有方法皆可,“边边”有缘,总有一款可行.


例1 如图,在\(\triangle ABC\)中,\(AB=AC\),\(P\)为\(\triangle ABC\)内一点,连接\(PA,PB,PC\),且\(\angle BAP=70^\circ\),\(\angle ABP=40^\circ\),\(\angle PCB=30^\circ\),求\(\angle PBC\)的度数.0

解 如图,以\(BC\)为边在\(\triangle ABC\)同侧作等边\(\triangle BCE\),连接\(AE\).6若\(\triangle BAE \cong \triangle BPC\),即可求得\(\angle PBC\)的度数.但由已知条件\(\mathrm{SSA}\)不能证明全等,而要求的是角,所以只能通过\(\mathrm{SSS}\)来证全等.
7延长\(EA,CP\),分别与等边\(\triangle BCE\)的边交于点\(F,G\).则\[\mathrm{Rt}\triangle ABF\cong \mathrm{Rt}\triangle PGB\ (\mathrm{HL}).\]所以\[AF=PG,EA=CP.\]从而\(\triangle BAE \cong \triangle BPC\)得证,故\[\angle PBC=\angle ABE=10^\circ.\]

例2 如图,在\(\triangle ABC\)中,\(AB=AC\),\(\angle BAC=80^\circ\),\(D\)为形内一点,且\(\angle DAB=\angle DBA=10^\circ\),求\(\angle ACD\)的度数.8解 如图,以\(AC\)为边在\(\triangle ABC\)同侧作等边\(\triangle ACE\),连接\(BE,DE\).9易证\[\triangle ADB\cong \triangle ADE\ (\mathrm{SAS}),\]所以\[DE=DB=DA.\]10从而证得\[\triangle ACD\cong \triangle ECD\ (\mathrm{SSS}),\]所以\[\triangle ACD=\angle ECD=30^\circ.\]


练习 如图,在\(\triangle ABC\)中,\(AB=AC=8\),\(\angle BAC=80^\circ\),\(P\)为\(\triangle ABC\)内一点,且\(\angle PBC=10^\circ\),\(\angle PCB=30^\circ\).求\(PB\)的长.0答案 \(PB=8\).

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