条条大路通罗马

如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=\angle BCA=44^\circ$，$M$为$\triangle ABC$形内一点，使得$\angle MCA=30^\circ$，$\angle MAC=16^\circ$．求$\angle BMC$的度数．

答案    $\angle BMC=150^\circ$．

方法一：轴对称图形添加对称轴
作$BD\perp AC$于点$D$，延长$CM$交$BD$于点$E$，连接$AE$，则 $$\angle EAM=14^\circ=\angle BAE,\angle AME=46^\circ=\angle ABE.$$ 所以 $$\triangle ABE\cong \triangle AME,$$ 则 $$EB=EM.$$ 易得$\angle BEM=120^\circ$，故 $$\angle BMC=180^\circ-\angle BME=150^\circ.$$
方法二：构造等边三角形以$AC$为边在$\triangle ABC$同侧作等边$\triangle ADC$，连接$BD$，则 $$\angle ADB=30^\circ=\angle ACM,\angle DAB=16^\circ=\angle MAC.$$ 所以 $$\triangle DAB\cong \triangle CAM.$$ 则 $$AB=AM.$$ 从而求得 $$\angle BMC=150^\circ.$$
方法三：构造等边三角形以$AB$为边在$\triangle ABC$同侧作等边$\triangle ABD$，则$A,D,C$在以$B$为圆心、$BA$为半径的圆上．连接$DC,DM$，则 $$\angle ACD=\dfrac 12 \angle ABD=30^\circ.$$ 可证 $$\triangle AMC \cong \triangle ADC.$$ 则 $$AM=AD=AB,$$ 从而求得 $$\angle BMC=\angle BMD=150^\circ.$$

练习    在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=\angle ACB=40^\circ$，$P$为形内一点，$\angle PAC=20^\circ$，$\angle PCB=30^\circ$．求$\angle PBC$的度数．
答案    $\angle PBC=20^\circ$．