每日一题[247] 从平面到空间

大家应该对这样一道平面轨迹问题不陌生：

已知$m$、$n$是互相垂直于点$O$的两条直线，长度为$l$的线段$PQ$的端点$P$、$Q$分别在直线$m$、$n$上滑动，求线段$PQ$中点的点的轨迹．

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$OM=\dfrac 12PQ$为定值，于是$M$的轨迹是以$O$为圆心，$\dfrac 12l$为半径的圆．

现在思考这个问题的空间版本：

已知$m$、$n$是异面垂直且距离为$d$的两条直线，长度为$l$的线段$PQ$的端点$P$、$Q$分别在直线$m$、$n$上滑动，求线段$PQ$中点的点的轨迹．

正确答案是所求轨迹是以$m$、$n$的公垂线段中点$O$为圆心，$\dfrac 12\sqrt{l^2-d^2}$为半径的圆，且该圆所在的平面与公垂线段垂直．

解    如图，设$m$、$n$的公垂线段为$AB$，过线段$AB$的中点作$AB$的法平面$\alpha$，分别作$P$、$Q$在$\alpha$上的投影$P'$、$Q'$，连接$OP'$、$OQ'$、$OM$、$P'Q'$．

由于$PP'$与$QQ'$平行且相等，于是$M$同时平分$PQ$与$P'Q'$，此时线段$P'Q'$仍为定值$\sqrt{l^2-d^2}$．

此时问题已经转化为平面上的对应问题，不难得到所求轨迹是以$m$、$n$的公垂线段中点$O$为圆心，$\dfrac 12\sqrt{l^2-d^2}$为半径的圆，且该圆所在的平面与公垂线段垂直．

注一    解决立体几何问题的核心思路是通过截割、投影、补形等手段将空间问题转化到平面上，然后利用平面几何知识进行证明及计算．

注二    如果将问题拓展为$m$与$n$为互相垂直的两个平面，长度固定的线段$PQ$的两个端点分别在两个平面上运动 ，那么得到点的轨迹为一个圆柱面及其内部．