每日一题[216] 分而治之

2001年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：

已知正数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，求证：$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geqslant ab+bc+ca$．

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证明    利用恒等式

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca,$$ 可得欲证不等式即 $$2\sqrt a+2\sqrt b+2\sqrt c\geqslant 9-a^2-b^2-c^2,$$

考虑函数$f(x)=2\sqrt x+x^2$在$x=1$处的切线$y=3x$，如图．

于是可得局部不等式

$$2\sqrt a+a^2\geqslant 3a,$$ 该不等式也可以对$\sqrt a+\sqrt a+a^2$运用算术-几何平均值不等式得到，等号取得的条件为$a=1$．

因此原不等式得证．

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注    在三元均值不等式的证明中，如果能够“分离”变元，就可以考虑利用切线法，可以参考 每日一题[210] 代数不等式的证明 ．