每日一题[207] 系数的系数哪里来？

2014全国高中数学联赛江西省预赛试题．

已知$(1+x)^{50}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{50}x^{50}$，则$a_1+2a_2+3a_3+\cdots+25a_{25}$的值为_______．

正确答案是$50\cdot 2^{48}$．

根据已知，有 $$a_k={\rm C}_{50}^k,k=0,1,2,\cdots,50.$$

由组合恒等式 $$\dfrac{{\rm C}_n^m}{{\rm C}_{n-1}^{m-1}}=\dfrac nm,$$ 于是可得 $$m{\rm C}_n^m=n{\rm C}_{n-1}^{m-1}.$$ 这样就可以给二项式系数分别配给相应的系数．

将此恒等式应用到本题，所求代数式 $$\sum_{k=1}^{25}k{\rm C}_{50}^k=\sum_{k=1}^{25}50{\rm C}_{49}^{k-1}=50\cdot 2^{48}.$$

注一    由此可以推广到 $$\sum_{k=1}^nk\cdot {\rm C}_n^k=n\cdot 2^{n-1}.$$

注二    也可以对已知等式两侧分别求导得到所需要的系数 $$50(1+x)^{49}=\sum_{k=1}^{50}k\cdot a_kx^{k-1},$$ 然后赋值，注意利用对称性即得．