每日一题[208] 数量积的范围

2015年全国高中数学联赛安徽省预赛第3题：

设平面向量\(\overrightarrow a\)、\(\overrightarrow b\)满足\(\left|\overrightarrow a\right|,\left|\overrightarrow b\right|,\left|\overrightarrow a +\overrightarrow b\right|\in [1,3]\)，则\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\)的取值范围是_______．

正确答案是\(\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]\)．

法一

由于\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac 12\left(\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a\right|^2-\left|\overrightarrow b\right|^2\right)\geqslant -\dfrac {17}2,\]又\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac 14\left(\left|\overrightarrow a+ \overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\right)\leqslant \dfrac 94,\]且两个不等式中的等号均可取得，因此\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\)的取值范围是\(\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]\)．

法二

设平面内\(\overrightarrow {OA}=\overrightarrow a\)、\(\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow b\)，则\(\left|\overrightarrow {AB}\right|=\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|\)．

于是问题转化为在圆环\(1\leqslant r\leqslant 3\)上的两点\(A\)、\(B\)之间的距离在\([1,3]\)之间，求\(-\left(\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OB}\right)\)的取值范围．

应用极化恒等式，有\[\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=OM^2-\dfrac 14AB^2,\]其中\(M\)为线段\(AB\)的中点．

显然有\(1\leqslant AB^2\leqslant 9\)，接下来考虑\(OM^2\)的取值范围．

显然当\(A\)、\(B\)位于半径为\(3\)的圆周上，且\(AB\)的长度为\(1\)时\(OM^2\)取得最大值，为\(3^2-\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac{35}4\)．从而\(OM^2\)的取值范围是\(0\leqslant OM^2\leqslant \dfrac {35}4\)．

因此\[0-\dfrac 94\leqslant OM^2-\dfrac 14AB^2\leqslant \dfrac{35}4-\dfrac 14,\]从而\[-\dfrac 94\leqslant \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}\leqslant \dfrac{17}2,\]即\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\)的取值范围是\(\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]\)．

注    关于极化恒等式，提供两道练习题：

1、已知\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0\)，\(\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0\)，\(\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|=\sqrt 3\)，\(\left|\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=1\)，则\(\left|\overrightarrow a+\overrightarrow c\right|\)的最大值是_______．（\(3\)）

2、\(C\)、\(D\)两点在三角形\(PAB\)的边\(AB\)上，且\(AC=BD\)．若\(\angle CPD=90^\circ\)，且\(PA^2+PB^2=10\)，则\(AB+CD\)的最大值为_______．（\(2\sqrt{10}\)）